0-1 背包问题

咋先不说解决这种背包问题的方法，个人感觉应该先把产生问题的背景描述出来会比较好一点，如下：

1，问题描述

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的重量是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的重量总和不超过背包容量，且价值总和最大。,

2，具体实例：

现有一个容量为10kg的背包，还有5件不同质量和价格的物品，现在让你，把这些物品有选择性的放到背包里面，使得背包的价值最大且背包里物品的重量不能超过背包的最大容量。5件物品的重量分别为{A,B,C,D,E}与之对应的质量分别为{2,2,6,5,4}对应的价格为{6,3,5,4,6}。

问题特点：

每种物品仅有一件，可以选择放或不放。

解决问题思路：

我把背包容量从0列举到10，因为背包容量太大，所以求解很复杂。故此，我就分别求，看背包容量分别为0,1,2,3....10时，怎样放物品能使不同容量的背包价值最大。放物品的时候也是一个一个的放，至于是否放得进去，看如下例子：

（想了好久也不知道该怎么叙述，这里我就直接举例说明，看我基友能不能看懂，要是他能看懂的话我，相信你们就能看懂）

现在，我准备把物品A往背包里面放，容易看出，背包容量为0和1时，物品A是放不进去的，所以价值为0，当背包容量为2,3,4....10时可以放进去，且与之对应的价值都是6，这应该好理解吧，就是说，背包容量为2时，把A放进去，背包满了，价值为6，容量为3时，A放进去时，背包没满，但价值还是6，以此类推后面的容量对应的价值都是6。如图，

 

现在，在以上操作的基础上（物品A放入相应容量的背包中使得背包的价值最大）再把物品B放入相应容量的背包中，由于B的重量为也是2，所以背包容量为0和1时不能放B，所以对应的价值,应该是上一次（放入A）时的最大价值，结果还是0，然后容量为2时，做出判断，如果放入B，背包满了不能放A了，价值是3，如果不放B，那么价值就是A的价值6，很显然6大于3   所以这儿应该放A，然后一直往后放，容量为4时，可以把A和B都放进去，价值为9，以后容量为5,6,7,8,9,10价值都是9  如下图

好了，现在可以把C也放进去了如图

最后把D和E也放进去

至此，所有的物品都已有选择性的放进去了，但是你还不知道到底哪个是真的放进去了，哪个没放进

不过，最大值可以看出来，就是15

找出最优解：

判断放进去的物品：

我们从最大值开始判断，背包容量为10时，（有选择性的放或不放E后）价值最大为15，（有选择性的放D或不放D后）价值最大为14，这就说明了一个问题，要是没有放E，那么最大价值应该是14，所以确定E肯定放进去了。

然后判断D是否放入了背包，判断D时，先把E的重量减掉(因为E已经确定放进去了，所以接下来判断的就是剩余背包容量中是否放入了D)，10-4=6，看背包容量为6时的情况，有图可以看出，对D没有进行任何操作时的价值为9（看C行，容量为6的那个价值），然后对D进行 ”有选择性的放或不放“ 的操作后，价值还是9，那说明D肯定没放，

对C判断，同样的，先算出剩余背包容量，由于已近确定放E，没放D，所以剩余背包容量为10-4=6，有图可知，对C没有进行任何操作时的价值为9（看Ｂ行，容量为6的那个价值），然后对C进行 ”有选择性的放或不放“ 的操作后，价值还是9，那说明Ｃ肯定没放，

对Ｂ判断，以上可知，Ｃ，Ｄ都没放，放入了Ｅ，背包剩余容量还是6，对B没有进行任何操作时的价值为6（看A行，容量为6的那个价值），然后对B进行 ”有选择性的放或不放“ 的操作后，价值是9，那说明Ｃ肯定放进去了，

对A判断，以上可知剩余背包容量为10-4-2=4，对A没有进行任何操作时的价值为0（啥都不操作的时候），然后对A进行 ”有选择性的放或不放“ 的操作后，价值是6，那说明A肯定放进去了，

至此我们可以得出我们的最优解背包里放进去的物品分别是A,B,E，还可以知道，背包容量为2+2+4=8时，背包的价值就已经达到最大了。

下面附上代码

#include<stdio.h>  #include<stdlib.h>  #include<iostream>  using namespace std;  const int c = 10;             //背包的容量  const int w[] = {0,2,2,6,5,4};//物品的重量，其中0号位置不使用 。   const int v[] = {0,6,3,5,4,6};//物品对应的待加，0号位置置为空。  const int n = sizeof(w)/sizeof(w[0]) - 1 ; //n为物品的个数   int x[n+1];  void package0_1(int m[][11],const int w[],const int v[],const int n)//n代表物品的个数  用于进行“有选择性放或不放物品” 的操作{      //采用从底到顶的顺序来设置m[i][j]的值      //首先放w[n]  int i,j;    memset(m,0,sizeof(m));    for(i = 1; i <= n; i++)  {        for( j = 0; j <= c; j++)  {                      m[i][j] = m[i-1][j];//如果j < w[i]则，当前位置就不能放置，它等于上一个位置的值。                                              //否则，就比较到底是放置之后的值大，还是不放置的值大，选择其中较大者。    if(j>=w[i])   {                m[i][j] = m[i-1][j] > m[i-1][j-w[i]] + v[i]?                   m[i-1][j] : m[i-1][j-w[i]] + v[i];    }}}}  void answer(int m[][11],const int n)  //选出最优解，判断那个放入了背包，那个没有放，{      int j = c;      int i;      for(i = n; i>=1; i--)          if(m[i][j] == m[i-1][j])x[i] = 0;          else                {               x[i] = 1;              j = j - w[i];          }  }  int main()  {   int m[6][11]; memset(m,0,sizeof(m)); package0_1(m,w,v,n);   for(int i = 0; i <= 5; i++)   {       for(int j = 0; j <= 10; j++)  if(i==0)printf("%2d ",j); else     printf("%2d ",m[i][j]);      printf("\n");    }    answer(m,n);   printf("The best answer is:\n");  for( i = 1; i <= 5; i++)   printf("%d ",x[i]); system("pause");   return 0;  }  

1.  m[i][j] = m[i-1][j] > m[i-1][j-w[i]] + v[i]?     
2.                 m[i-1][j] : m[i-1][j-w[i]] + v[i];   

深度分析上述表达式

对于该式子的理解，首先得清楚一点就是每个物品只有两种状态  放或不放  例如那物品A和B来说，相互组合之后有三种情况

(1)放A不放B   (2)放Ｂ不放Ａ   (3)即放Ａ又放Ｂ

其中怎么判断到底选择哪种放发　主要就看上面这个公式，看左面，其中m [i-1] [j]表示的就是放A不放B时的背包的价值  m[i-1][j-w[i]]+v[i]这个式子有两层意思：只放B    A与B都放，具体的实现就要看是否满足对应的条件了，这里面，给我的感觉是，它直接假设把第i（这里是物品B）个物品放进去，下面我给你分析一下：

放B后（第i个物品），那么背包剩余的质量就是j-w[i]，然后看前i-1（在这里只有物品A）个物品在剩余的背包质量中的价值是多少，即m[i-1][j-w[i]]。最后加上物品第i个（这里是物品B）物品的价值v[i]，最终的公式是m[i-1][j-w[i]]+v[i]

j=2,3时

具体的例子是,现在开始放B，即判断m[2][j]（j的范围是0到10）的值，我们一个一个的判断，因为B的质量为2，所以只有背包的质量等于2 时才开始进行方与不放的操作，那么现在使m[2][2]等于m[1][2]还是m[1][0]+v[1]   这里面m[1][2]的意思就是放A不放B ，那么价值就是A的价值=6，然后看m[1][0]+v[1]这里我前面说了，直接假设把Ｂ放进去，那么背包剩余质量为j-w[i]=0,由此可知前i-1个物品（在这里只有A）是放不进去的，那么价值为0，然后加上第i个物品的价值v[i]=3，所以最终的价值m[i-1][j-w[i]]+v[i]=3其中表达的意思是放B不放A，最终判断m[1][2]=6大于m[1][0]+v[1]=3所以m[2][2]=6,后面的j=3，判断方法于此一样

j=4,5,6,7,8,9,10时

这里，再说一下j=4时的情况，现在使m[2][4]等于m[1][4]还是m[1][2]+v[4]   这里面m[1][4]的意思就是放A不放B ，那么价值就是A的价值=6，然后看m[1][2]+v[4]这里我前面说了，直接假设把Ｂ放进去，那么背包剩余质量为j-w[i]=2,由此可知前i-1个物品（在这里只有A）是可以放进去的，那么价值为6，然后加上第i个物品的价值v[4]=3，所以最终的价值m[i-1][j-w[i]]+v[i]=9其中表达的意思是A和B都放进去，最终判断m[1][4]=6小于m[1][2]+v[4]=9所以m[2][4]=9.后面的j=5,6,7,8,9,10 的判断方法于此一样