图的最短路径 -- Dijkstra 算法详解

经典的算法，求两个城市间的最短距离。

治学之道，最忌知其然而不知其所以然。所以今天就让我们来一步一步了解图，最短路径算法Dijkstra

以下是来自经典算法书籍 § Algorithms 的图的Java表示：

Princeton Graph.java

Bag.java

以下是Dijkstra 算法的证明：

Dijkstra's Algorithm的证明

麻省理工大学算法公开课：Dijkstra 算法-麻省理工大学

其实看完最短路径算法第一节课就大概明白了Dijkstra算法的原理。

这里存在一个假设：我们不存在任何的负权边。如果有负权边，我们是不能使用Dijkstra算法的。因为它使用的是贪心算法。

证明： 维护一个已经是最短距离顶点的set1, 以及其它顶点的set.

每次搜索余下的所有的点，找到一个最短距离的顶点，将它加到set1。为什么它就是最短距离呢？

Proof:

    假设找到的这个点是A点，假如如果我们可以从set1中到B点再到A点，因为dist[src][B] > dist[src][A]，

所以dist[src][B] + dist[B][A] >= dist[src][A]，所以经过B的路径还是比从set直接到A要远。因此我们找到的从原点到A的路径就是最短路径。

这样就可以把A点加入到set1中。

set1中加入A点后，我们要把与A相接的所有的点的距离值全部更新一次（即所有的点都算一次经过A点的距离。）这样我们可以更新从set1出发到其它点的距离。

以下是代码。在此代码中，我们使用邻接矩阵来表示图，如果是稀疏图，其实应该用邻接链表来表示，也就是前面所述的Bag，这里就不详述啦：

测试结果：

[0, 0]

[0, 1]

[0, 3, 2]

[0, 3]

[0, 3, 2, 4]

The shortest path length from start to 0 is:0

The shortest path length from start to 1 is:10

The shortest path length from start to 2 is:50

The shortest path length from start to 3 is:30

The shortest path length from start to 4 is:60