弗洛伊德算法详解
算法的数据结构
弗洛伊德算法采用图的带权邻接矩阵存储结构。
算法基本思想
假设求顶点Vi到Vj的最短路径。弗洛伊德算法依次找从Vi到Vj，中间经过结点序号不大于0的最短路径，不大于1的最短路径，…直到中间顶点序号不大于n-1的最短路径，从中选取最小值，即为Vi到Vj的最短路径。
算法具体描述
若从Vi到Vj有弧，则从Vi到Vj存在一条长度为弧上权值（arcs[i][j]）的路径，该路径不一定是最短路径，尚需进行n次试探。
首先考虑从Vi到Vj经过中间顶点V0的路径（Vi，V0，Vj）是否存在，也就是判断弧（Vi，V0）和（V0，Vj）是否存在。若存在，则比较（Vi，Vj）和（Vi，V0，Vj）的路径长度取较短的为从Vi到Vj的中间顶点序号不大于0的最短路径。
在此路径上再增加一个顶点V1，也就是说，如果（Vi，…V1）和（V1，…Vj）分别是当前找到的中间顶点序号不大于0的最短路径，那么，（Vi，…V1，…Vj）就有可能是从Vi到Vj的中间顶点序号不大于1的最短路径。将它和已经得到的从Vi到Vj中间顶点序号不大于0的最短路径相比较，从中选出最短的作为从Vi到Vj中间顶点序号不大于1的最短路径。
然后，再增加一个顶点V2继续进行这个试探过程。
一般情况下，若（Vi，…Vk）和（Vk，…Vj）分别是从Vi到Vk和从Vk到Vj的中间顶点序号不大于k-1的最短路径，则将（Vi，…，Vk，…Vj）和已经得到的从Vi到Vj的中间顶点序号不大于k-1的最短路径相比较，其长度最短者即为从Vi到Vj的中间顶点序号不大于k的最短路径。
经过n次比较之后，最后求得的便是从Vi到Vj的最短路径。
按此方法可同时求得各对顶点之间的最短路径。
现定义一个n阶方阵序列
D（-1），D（0），D（1），…，D（k），…，D（n-1）
其中
D（-1）[i][j]=arcs[i][j]
D（k）[i][j]=Min{D（k-1）[i][j],D（k-1）[i][k]+D（k-1）[k][j]} 0≤k≤n-1
上述公式中，D（1）[i][j]是从Vi到Vj的中间顶点序号不大于 k的最短路径长度；D（n-1）[i][j]是从Vi到Vj的最短路径长度。
算法实现
voidshortestpath_Floyd(Mgraph G,pathmatrix&P[],Distancmatrix &D){
//用Floyd算法求有向网G中各对顶点v和w之间的最短路径P[v][w]及其带权路径长度D[v][w]。
//若P[v][w][u]为TRUE，则u是从v到w当前求得最短路径上的顶点。
For(v=0;v<G.vexnum;++v) //各对顶点之间路径和距离初始化
For(w=0;w<G.vexnum;++w){
D[v][w]=G.arcs[v][w];
For(u=0;u<G.vexnum;++u) P[v][w][u]=false;
If(D[v][w]<INFINITY){ //从v到w有直接路径
P[v][w][v]=true;P[v][w][w]=true;
}//if
}//for
for (u=0;u<G.vexnum;++u)
for(v=0;v<G.vexnum;++v)
for (w=0;w<G.vexnum;++w)
if(D[v][u]+D[u][w]<D[v][w]){ //从v经u到w的一条路径更短
D[v][w]=D[v][u]+D[u][w]；
For(I=0;I<G.vexnum;++I)
P[v][w][I]=P[v][u][I]||P[u][w][I];
}//if
}//shortestpath_Floyd
