数据结构之图（存储结构、遍历）

参考：http://blog.chinaunix.net/uid-26548237-id-3483650.html

以下为该博客原文：

红色字体是自己添加的

一、图的存储结构

1.1 邻接矩阵

    图的邻接矩阵存储方式是用两个数组来表示图。一个一维数组存储图中顶点信息，一个二维数组（邻接矩阵）存储图中的边或弧的信息。

    设图G有n个顶点，则邻接矩阵是一个n*n的方阵，定义为：

    

    看一个实例，下图左就是一个无向图。

    

    从上面可以看出，无向图的边数组是一个对称矩阵。所谓对称矩阵就是n阶矩阵的元满足a_ij = a_ji。即从矩阵的左上角到右下角的主对角线为轴，右上角的元和左下角相对应的元全都是相等的。

    从这个矩阵中，很容易知道图中的信息。

    （1）要判断任意两顶点是否有边无边就很容易了；

    （2）要知道某个顶点的度，其实就是这个顶点vi在邻接矩阵中第i行或（第i列）的元素之和；

    （3）求顶点vi的所有邻接点就是将矩阵中第i行元素扫描一遍，arc[i][j]为1就是邻接点；

    而有向图讲究入度和出度，顶点vi的入度为1，正好是第i列各数之和。顶点vi的出度为2，即第i行的各数之和。

    若图G是网图，有n个顶点，则邻接矩阵是一个n*n的方阵，定义为：

    

    这里的w_ij表示(v_i,v_j)上的权值。无穷大表示一个计算机允许的、大于所有边上权值的值，也就是一个不可能的极限值。下面左图就是一个有向网图，右图就是它的邻接矩阵。

    

    那么邻接矩阵是如何实现图的创建的呢？代码如下。

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <curses.h> typedef char VertexType;                //顶点类型应由用户定义typedef int EdgeType;                   //边上的权值类型应由用户定义 #define MAXVEX  100             //最大顶点数，应由用户定义#define INFINITY    65535               //用65535来代表无穷大#define DEBUG typedef struct{    VertexType vexs[MAXVEX];            //顶点表    EdgeType   arc[MAXVEX][MAXVEX];         //邻接矩阵，可看作边    int numVertexes, numEdges;      //图中当前的顶点数和边数}Graph; //定位int locates(Graph *g, char ch){    int i = 0;    for(i = 0; i < g->numVertexes; i++)    {        if(g->vexs[i] == ch)        {            break;        }    }    if(i >= g->numVertexes)    {        return -1;    }         return i;} //建立一个无向网图的邻接矩阵表示void CreateGraph(Graph *g){    int i, j, k, w;    printf("输入顶点数和边数:\n");    scanf("%d,%d", &(g->numVertexes), &(g->numEdges));         #ifdef DEBUG    printf("%d %d\n", g->numVertexes, g->numEdges);    #endif     for(i = 0; i < g->numVertexes; i++)    {        g->vexs[i] = getchar();        while(g->vexs[i] == '\n')        {            g->vexs[i] = getchar();        }    }         #ifdef DEBUG    for(i = 0; i < g->numVertexes; i++)    {        printf("%c ", g->vexs[i]);    }    printf("\n");    #endif      for(i = 0; i < g->numEdges; i++)    {        for(j = 0; j < g->numEdges; j++)        {            g->arc[i][j] = INFINITY; //邻接矩阵初始化        }    }    for(k = 0; k < g->numEdges; k++)    {        char p, q;        printf("输入边(vi,vj)上的下标i，下标j和权值:\n");                 p = getchar();        while(p == '\n')        {            p = getchar();        }        q = getchar();        while(q == '\n')        {            q = getchar();        }        scanf("%d", &w);                     int m = -1;        int n = -1;        m = locates(g, p);        n = locates(g, q);        if(n == -1 || m == -1)        {            fprintf(stderr, "there is no this vertex.\n");            return;        }        //getchar();        g->arc[m][n] = w;        g->arc[n][m] = g->arc[m][n];  //因为是无向图，矩阵对称    }} //打印图void printGraph(Graph g){    int i, j;    for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)    {        for(j = 0; j < g.numVertexes; j++)        {            printf("%d  ", g.arc[i][j]);        }        printf("\n");    }} int main(int argc, char **argv){    Graph g;         //邻接矩阵创建图    CreateGraph(&g);    printGraph(g);    return 0;}

     从代码中可以得到，n个顶点和e条边的无向网图的创建，时间复杂度为O(n + n² + e)，其中对邻接矩阵Grc的初始化耗费了O(n²)的时间。

1.2 邻接表

    邻接矩阵是不错的一种图存储结构，但是，对于边数相对顶点较少的图，这种结构存在对存储空间的极大浪费。因此，找到一种数组与链表相结合的存储方法称为邻接表。

    邻接表的处理方法是这样的：

    （1）图中顶点用一个一维数组存储，当然，顶点也可以用单链表来存储，不过，数组可以较容易的读取顶点的信息，更加方便。

    （2）图中每个顶点vi的所有邻接点构成一个线性表，由于邻接点的个数不定，所以，用单链表存储，无向图称为顶点vi的边表，有向图则称为顶点vi作为弧尾的出边表。

    例如，下图就是一个无向图的邻接表的结构。

    

    从图中可以看出，顶点表的各个结点由data和firstedge两个域表示，data是数据域，存储顶点的信息，firstedge是指针域，指向边表的第一个结点，即此顶点的第一个邻接点。边表结点由adjvex和next两个域组成。adjvex是邻接点域，存储某顶点的邻接点在顶点表中的下标，next则存储指向边表中下一个结点的指针。

    对于带权值的网图，可以在边表结点定义中再增加一个weight的数据域，存储权值信息即可。如下图所示。

    

    对于邻接表结构，图的建立代码如下。

/* 邻接表表示的图结构 */#include <stdio.h>#include<stdlib.h> #define DEBUG#define MAXVEX 1000         //最大顶点数typedef char VertexType;        //顶点类型应由用户定义typedef int EdgeType;           //边上的权值类型应由用户定义 typedef struct EdgeNode         //边表结点{    int adjvex;         //邻接点域，存储该顶点对应的下标    EdgeType weigth;        //用于存储权值，对于非网图可以不需要    struct EdgeNode *next;      //链域，指向下一个邻接点}EdgeNode; typedef struct VertexNode       //顶点表结构{    VertexType data;        //顶点域，存储顶点信息    EdgeNode *firstedge;        //边表头指针}VertexNode, AdjList[MAXVEX]; typedef struct{    AdjList adjList;    int numVertexes, numEdges;  //图中当前顶点数和边数}GraphList; int Locate(GraphList *g, char ch){    int i;    for(i = 0; i < MAXVEX; i++)    {        if(ch == g->adjList[i].data)        {            break;        }    }    if(i >= MAXVEX)    {        fprintf(stderr,"there is no vertex.\n");        return -1;    }    return i;} //建立图的邻接表结构void CreateGraph(GraphList *g){    int i, j, k;    EdgeNode *e;    EdgeNode *f;    printf("输入顶点数和边数:\n");    scanf("%d,%d", &g->numVertexes, &g->numEdges);         #ifdef DEBUG    printf("%d,%d\n", g->numVertexes, g->numEdges);    #endif         for(i = 0; i < g->numVertexes; i++)    {        printf("请输入顶点%d:\n", i);        g->adjList[i].data = getchar();          //输入顶点信息        g->adjList[i].firstedge = NULL;          //将边表置为空表        while(g->adjList[i].data == '\n')        {            g->adjList[i].data = getchar();        }    }    //建立边表    for(k = 0; k < g->numEdges; k++)    {        printf("输入边(vi,vj)上的顶点序号:\n");        char p, q;        p = getchar();        while(p == '\n')        {            p = getchar();        }        q = getchar();        while(q == '\n')        {            q = getchar();        }        int m, n;        m = Locate(g, p);        n = Locate(g, q);        if(m == -1 || n == -1)        {            return;        }        #ifdef DEBUG        printf("p = %c\n", p);        printf("q = %c\n", q);        printf("m = %d\n", m);        printf("n = %d\n", n);        #endif             //向内存申请空间，生成边表结点        e = (EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode));        if(e == NULL)        {            fprintf(stderr, "malloc() error.\n");            return;        }        //邻接序号为j        e->adjvex = n;        //将e指针指向当前顶点指向的结构        e->next = g->adjList[m].firstedge;        //将当前顶点的指针指向e        g->adjList[m].firstedge = e;                 f = (EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode));        if(f == NULL)        {            fprintf(stderr, "malloc() error.\n");            return;        }        f->adjvex = m;        f->next = g->adjList[n].firstedge;        g->adjList[n].firstedge = f;    }}  void printGraph(GraphList *g){    int i = 0;    #ifdef DEBUG    printf("printGraph() start.\n");    #endif         while(g->adjList[i].firstedge != NULL && i < MAXVEX)    {        printf("顶点:%c  ", g->adjList[i].data);        EdgeNode *e = NULL;        e = g->adjList[i].firstedge;        while(e != NULL)        {            printf("%d  ", e->adjvex);            e = e->next;        }        i++;        printf("\n");    }} int main(int argc, char **argv){    GraphList g;    CreateGraph(&g);    printGraph(&g);    return 0;}

     对于无向图，一条边对应都是两个顶点，所以，在循环中，一次就针对i和j分布进行插入。

对于有向图，只需插入一次即可

    本算法的时间复杂度，对于n个顶点e条边来说，很容易得出是O(n+e)。

1.3 十字链表

    对于有向图来说，邻接表是有缺陷的。关心了出度问题，想了解入度就必须要遍历整个图才知道，反之，逆邻接表解决了入度却不了解出度情况。下面介绍的这种有向图的存储方法：十字链表，就是把邻接表和逆邻接表结合起来的。

    重新定义顶点表结点结构，如下所示。

    

    其中firstin表示入边表头指针，指向该顶点的入边表中第一个结点，firstout表示出边表头指针，指向该顶点的出边表中的第一个结点。

    重新定义边表结构，如下所示。

    

    其中，tailvex是指弧起点在顶点表的下表，headvex是指弧终点在顶点表的下标，headlink是指入边表指针域，指向终点相同的下一条边，taillink是指边表指针域，指向起点相同的下一条边。如果是网，还可以增加一个weight域来存储权值。

    比如下图，顶点依然是存入一个一维数组，实线箭头指针的图示完全与邻接表相同。就以顶点v₀来说，firstout指向的是出边表中的第一个结点v₃。所以，v₀边表结点hearvex = 3，而tailvex其实就是当前顶点v₀的下标0，由于v₀只有一个出边顶点，所有headlink和taillink都是空的。

    

    重点需要解释虚线箭头的含义。它其实就是此图的逆邻接表的表示。对于v₀来说，它有两个顶点v₁和v₂的入边。因此的firstin指向顶点v1的边表结点中headvex为0的结点，如上图圆圈1。接着由入边结点的headlink指向下一个入边顶点v₂，如上图圆圈2。对于顶点v₁，它有一个入边顶点v₂，所以它的firstin指向顶点v₂的边表结点中headvex为1的结点，如上图圆圈3。

    十字链表的好处就是因为把邻接表和逆邻接表整合在一起，这样既容易找到以v为尾的弧，也容易找到以v为头的弧，因而比较容易求得顶点的出度和入度。

    而且除了结构复杂一点外，其实创建图算法的时间复杂度是和邻接表相同的，因此，在有向图应用中，十字链表是非常好的数据结构模型。

    这里就介绍以上三种存储结构，除了第三种存储结构外，其他的两种存储结构比较简单。

由于原作者未给出十字链表的代码，现附上我的代码：

#include<iostream>#include<malloc.h>#include<stdlib.h>using namespace std;#define MAX 1000typedef struct huNode{int qishi,zhongdian;struct huNode *qishiNext, *zhongdianNext;int weight;}huNode;typedef struct dingNode{char data;huNode *firstin, *firstout;}dingNode;typedef struct {dingNode ding[MAX];int numding,numhu;}OrGraph;int locateDing(OrGraph * g, char ch){int i;for(i = 0; i<MAX; i++){if(g->ding[i].data == ch)break;}return i;}void crateOrGraph(OrGraph *g){cout<<"请输入顶点数和边数："<<endl;cin>>g->numding>>g->numhu;//初始化顶点数据cout<<"请输入顶点信息"<<endl;for(int i=0; i<g->numding; i++){cin>>g->ding[i].data;g->ding[i].firstin = NULL;g->ding[i].firstout = NULL;}for(int i=0; i<g->numhu; i++){int m,n;char p,q;cout<<"请输入<Vi,Vj>信息："<<endl;cin>>p>>q;m=n = -1;m = locateDing(g,p);n = locateDing(g,q);if(m==-1 || n==-1){return ;}huNode *hunoe = (huNode *) malloc(sizeof(huNode));hunoe->qishi = m;hunoe->zhongdian = n;hunoe->qishiNext = g->ding[m].firstout;hunoe->zhongdianNext = g->ding[n].firstin;g->ding[n].firstin = hunoe;g->ding[m].firstout = hunoe;}}void printOrGraph(OrGraph &g){for(int i=0; i<g.numding; i++){cout<<g.ding[i].data<<"的入度为："<<endl;while(g.ding[i].firstin != NULL){int Vi = g.ding[i].firstin->qishi;int Vj = g.ding[i].firstin->zhongdian;cout<<"<"<<g.ding[Vi].data<<","<<g.ding[Vj].data<<">"<<endl;g.ding[i].firstin = g.ding[i].firstin->zhongdianNext;}cout<<g.ding[i].data<<"的出度为："<<endl;while(g.ding[i].firstout != NULL){int Vi = g.ding[i].firstout->qishi;int Vj = g.ding[i].firstout->zhongdian;cout<<"<"<<g.ding[Vi].data<<","<<g.ding[Vj].data<<">"<<endl;g.ding[i].firstout = g.ding[i].firstout->qishiNext;}}}int main(){OrGraph g;crateOrGraph(&g);printOrGraph(g);return 0;}

二、图的遍历

    图的遍历和树的遍历类似，希望从图中某一顶点出发访遍图中其余顶点，且使每一个顶点仅被访问一次，这一过程就叫图的遍历。

    对于图的遍历来说，如何避免因回路陷入死循环，就需要科学地设计遍历方案，通过有两种遍历次序方案：深度优先遍历和广度优先遍历。

2.1 深度优先遍历

    深度优先遍历，也有称为深度优先搜索，简称DFS。其实，就像是一棵树的前序遍历。

    它从图中某个结点v出发，访问此顶点，然后从v的未被访问的邻接点出发深度优先遍历图，直至图中所有和v有路径相通的顶点都被访问到。若图中尚有顶点未被访问，则另选图中一个未曾被访问的顶点作起始点，重复上述过程，直至图中的所有顶点都被访问到为止。

    我们用邻接矩阵的方式，则代码如下所示。

#define MAXVEX  100     //最大顶点数typedef int Boolean;            //Boolean 是布尔类型，其值是TRUE 或FALSEBoolean visited[MAXVEX];        //访问标志数组#define TRUE 1#define FALSE 0 //邻接矩阵的深度优先递归算法void DFS(Graph g, int i){    int j;    visited[i] = TRUE;    printf("%c ", g.vexs[i]);                           //打印顶点，也可以其他操作    for(j = 0; j < g.numVertexes; j++)    {        if(g.arc[i][j] == 1 && !visited[j])        {            DFS(g, j);                  //对为访问的邻接顶点递归调用        }    }} //邻接矩阵的深度遍历操作void DFSTraverse(Graph g){    int i;    for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)    {        visited[i] = FALSE;         //初始化所有顶点状态都是未访问过状态    }    for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)    {        if(!visited[i])             //对未访问的顶点调用DFS，若是连通图，只会执行一次        {            DFS(g,i);        }    }}

如果使用的是邻接表存储结构，其DFSTraverse函数的代码几乎是相同的，只是在递归函数中因为将数组换成了链表而有不同，代码如下。

//邻接表的深度递归算法void DFS(GraphList g, int i){    EdgeNode *p;    visited[i] = TRUE;    printf("%c ", g->adjList[i].data);   //打印顶点，也可以其他操作    p = g->adjList[i].firstedge;    while(p)    {        if(!visited[p->adjvex])        {            DFS(g, p->adjvex);           //对访问的邻接顶点递归调用        }        p = p->next;    }} //邻接表的深度遍历操作void DFSTraverse(GraphList g){    int i;    for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)    {        visited[i] = FALSE;    }    for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)    {        if(!visited[i])        {            DFS(g, i);        }    }}

     对比两个不同的存储结构的深度优先遍历算法，对于n个顶点e条边的图来说，邻接矩阵由于是二维数组，要查找某个顶点的邻接点需要访问矩阵中的所有元素，因为需要O(n²)的时间。而邻接表做存储结构时，找邻接点所需的时间取决于顶点和边的数量，所以是O(n+e)。显然对于点多边少的稀疏图来说，邻接表结构使得算法在时间效率上大大提高。

2.2 广度优先遍历

    广度优先遍历，又称为广度优先搜索，简称BFS。图的广度优先遍历就类似于树的层序遍历了。

    邻接矩阵做存储结构时，广度优先搜索的代码如下。

//邻接矩阵的广度遍历算法void BFSTraverse(Graph g){    int i, j;    Queue q;    for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)    {        visited[i] = FALSE;    }    InitQueue(&q);    for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)//对每个顶点做循环    {        if(!visited[i])               //若是未访问过        {            visited[i] = TRUE;            printf("%c ", g.vexs[i]); //打印结点，也可以其他操作            EnQueue(&q, i);           //将此结点入队列            while(!QueueEmpty(q))     //将队中元素出队列，赋值给            {                int m;                DeQueue(&q, &m);                        for(j = 0; j < g.numVertexes; j++)                {                    //判断其他顶点若与当前顶点存在边且未访问过                    if(g.arc[m][j] == 1 && !visited[j])                    {                        visited[j] = TRUE;                        printf("%c ", g.vexs[j]);                        EnQueue(&q, j);                    }                }            }        }    }}

对于邻接表的广度优先遍历，代码与邻接矩阵差异不大， 代码如下。

//邻接表的广度遍历算法void BFSTraverse(GraphList g){    int i;    EdgeNode *p;    Queue q;    for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)    {        visited[i] = FALSE;    }    InitQueue(&q);    for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)    {        if(!visited[i])        {            visited[i] = TRUE;            printf("%c ", g.adjList[i].data);   //打印顶点，也可以其他操作            EnQueue(&q, i);            while(!QueueEmpty(q))            {                int m;                DeQueue(&q, &m);                p = g.adjList[m].firstedge;     找到当前顶点边表链表头指针                while(p)                {                    if(!visited[p->adjvex])                    {                        visited[p->adjvex] = TRUE;                        printf("%c ", g.adjList[p->adjvex].data);                        EnQueue(&q, p->adjvex);                    }                    p = p->next;                }            }        }    }}

 对比图的深度优先遍历与广度优先遍历算法，会发现，它们在时间复杂度上是一样的，不同之处仅仅在于对顶点的访问顺序不同。可见两者在全图遍历上是没有优劣之分的，只是不同的情况选择不同的算法。