补码的回顾以及补码发明的思路推演思考

补码与求补运算的定义

N个二进制位，M=N-1

通过一种编码映射。100...00 - 111...11 表示 (-2^M) - (-1) ; 000...00 - 011...11 表示 (0) - (2^M - 1)

对于编码A的求补 f(A) = （2^N）- A

原码转化成补码：

对于正数和零，原码即是补码

对于负数A，一般理解方法：

先做反码，然后编码意义上加1

求补运算的意义：

换言之，若要对一个数A求反，对那个数的补码A1做一次求补运算f(A1)，所求的补码B1就是原来数A的相反数B的补码。

这里提供原码转化成补码另外一个理解方法

对于求负数A的补码

本质上，负数A的相反数B，B是正数，B的原码B1就是B的补码，A的补码就是f(B1)

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机器实现：

x-y = x-1-y+1 = (x-1) - y + 1

在补码的转码中，这里的x=2^N 

这里的(x-1) - y即使对y进行反码操作，在ALU中可以N位同时刷新

至于N位整数+1，有一定的进位延时。

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边界情况：

容易看到，我们对-2^N求反，仍然是-2^N

对2^N-1求反，则是-(2^N)-1

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利用补码这种编码性质

f(y) = -y

x + y = x + y

x - y = x + f(y)

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马后炮：事后猜测补码发明的思路， 从而看补码的优势

先看正码表示，设N=4, -1 = 1001; -2 = 1010, -1 > -2， 但是 1001 < 1010，两种映射的编码的序性不一致

反码呢，-1=1110, -2 = 1101,  Ok，序性正确了，

然而，这里有一个问题，就是正数与负数之间，有一个1的缝隙。-1=1110， 1=0001，从循环编码的角度，这两个编码相差3：1110->1111->0000->0001。

因为正零和负零是两个数，导致两个数系的断裂。怎么办？让负数整体往正数靠拢，迈进一步（+1），负1没有了。

这就是求补的过程了。反码再加1。

我想，当初写出计算机的编码设计论文的大牛（好像是图灵还是什么的），当然有更深的考虑。但从序性和数系联系的角度，补码的发明是相当合理的。而这种合理性，我个人认为，正是其优点。

从机器实现的角度，并不算复杂，但相对反码的机器实现，还是多了+1的进位延时。

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int与unsigned int的思考

顺便，我也整理一下这里的误区。

如果声明变量a为int，但是却当作unsigned int，如果正常累加超出范围，转化成unsigned int结果应该还是可信的。

不过算了，我们利用好转换和保证类型的一致，这些底层的问题我们确实还是当作透明为好。

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欢迎探讨。

Regards,

Junhao Li

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