后缀数组学习

最近学习后缀数组，主要也是通过国家集训队的那篇论文点击打开链接，但想了整整一天才弄明白。固然论文给出的标码简洁高效，但对于我这种新人来说感觉还是晦涩难懂。

这里分享一下我的学习体会。

关于什么是后缀数组，论文里介绍的很详细，这里直接复制：

（下面的suffix(i)表示在字符串中下标从i开始的后缀）

后缀数组：后缀数组SA是一个一维数组，它保存1..n的某个排列SA[1]，SA[2]，……，SA[n]，并且保证Suffix(SA[i])<Suffix(SA[i+1])，1≤i<n。也就是将S的n个后缀从小到大进行排序之后把排好序的后缀的开头位置顺次放入SA中。

名次数组：名次数组Rank[i]保存的是Suffix(i)在所有后缀中从小到大排列的“名次”。

按我的理解，SA数组中传入一个下标i，i是一个名次，SA[i]的值是一个字符串中的下标，意思是字符串中以该下标为开头的后缀在该字符串的所有后缀中按字典序的排名是i。

而名次数组rank[]正好与SA是互逆的，传入一个下标i，这里的i是字符串中的一个下标，rank[i]的值是一个排名，意思是字符串中以i为开头的后缀在字符串所有后缀中按字典序的排名是rank[i]。

算法的目标就是构造出SA数组和rank数组，事实上只要知道一个，就能O（n）的知道另一个，因为sa，rank有这样的关系：

                sa[rank[i]] = i; rank[sa[i]] = i;

下面介绍倍增算法（我也只学了这个。。。）

其实倍增算法的原理还是容易懂的，论文中的图片阐释的很清楚：

首先对于一个长度为n的字符串S，它一共有n个后缀，每个后缀的长度都不一样，但由于字典序比较的特性，如果对所有长度不为n的后缀，在其后添上一个比字符串中所有字符都小的字符，字符串的所有后缀的排名不变。

接下来介绍算法思想：先求出S的所有长度为一的子串的排名，这其中一定有一个（就是最后一个字符）是S的后缀。接下来通过上一步得到的排名求出所有长度为二的子串的排名（这个如何实现之后会讲），按理说S的长度为二的子串只有n-1个，但只要我们把最后一个字符组成的子串的后面添上一个比字符串中所有字符都小的字符（就是上一段介绍的想法，姑且称这样的子串叫添凑子串），就能保证S的长度为二的添凑子串还是n个。在接下来就是利用上一步的排名求出S中的长度为四的添凑子串的排名，依此类推直到求出了S中的长度>=n的添凑子串的排名，这个添凑子串的排名就是要求的SA和rank数组。

如何同过长度为m的添凑子串的排名求出长度为2*m的添凑子串的排名？

对于一个长度为2*m的添凑子串，它肯定可以由两个长度为m的添凑子串A, B连接得来（可能需要在后面在添凑一些比字符串中所有字符都小的字符）。这样对于每个长度为2*m的添凑子串，都有两个属性：A, B的排名，只要通过这两个属性进行双关键字排序，就能得到长度为2*m的添凑子串的排名。

注意图上的rank数组不是上文介绍的rank数组，它相当于表示一个添凑子串的等级，允许等级相同的添凑子串。

接下来就是实现部分，个人感觉倍增算法的实现比算法思想理解起来难了很多，这里吐槽一下论文代码的可读性。。。

void da(int *str, int *sa, int n, int m){    //下面四行是先进行一次计数排序，构造出str的所有长度为1的子串排名    for(int i = 0; i < m; i++) bucket[i] = 0;    for(int i = 0; i < n; i++) bucket[rank[i] = str[i]]++;    for(int i = 1; i < m; i++) bucket[i] += bucket[i-1];    for(int i = n-1; i >= 0; i--) sa[--bucket[rank[i]]] = i;    for(int j = 1, p = 1; j < n && p < n; j *= 2, m = p) //j代表区间长度    {        p = 0;        /*            下面三行构造出第二关键字排名，储存在sa2数组中            因为从字符串中下标为n-j到n-1的子串需要添凑一个小字符，            所以这些子串的第二关键字排名最靠前。            第二关键字排名返回下标代表从该下标开始的长度为2*j的添凑子串，而当前sa数组里存放的是        */        for(int i = n-j; i < n; i++) sa2[p++] = i;        for(int i = 0; i < n; i++)            if(sa[i] >= j) sa2[p++] = sa[i] - j;        /*            下面5行对第一关键字进行排序，有点绕，可以参看基数排序原理        */        for(int i = 0; i < m; i++) bucket[i] = 0;        for(int i = 0; i < n; i++) val2[i] = rank[sa2[i]];        for(int i = 0; i < n; i++) bucket[val2[i]]++;        for(int i = 1; i < m; i++) bucket[i] += bucket[i-1];        /*            下面这行按第二关键字排名递减的顺序遍历字符串下标，将第一关键字的排序结果储存在sa数组，            至此，完成双关键字排序。之所以逆序枚举是想在val2的值相同的情况下，按下标递增的顺序排序，            因为sa数组不允许名次并列。        */        for(int i = n-1; i >= 0; i--) sa[--bucket[val2[i]]] = sa2[i];        for(int i = 0; i < n; i++) temprank[i] = rank[i];//将此时的rank数组备份        /*            此时rank数组记录着长度为j的添凑子串的排名，            接下来由于添凑子串的长度倍增，需要重新构造rank数组，            使之对应长度为2*j的添凑子串的排名。        */        rank[sa[0]] = 0; p = 1;        for(int i = 1; i < n; i++)        {            if(sa[i] + j < n && sa[i-1] + j < n && temprank[sa[i]] == temprank[sa[i-1]] && temprank[sa[i]+j] == temprank[sa[i-1]+j])                rank[sa[i]] = p-1;//由于rank数组允许相同排名，在两个长度为j的添凑子串完全相同时要使两个新串rank值相等            else                rank[sa[i]] = p++;        }    }}