从零单练网络流 第三章 有上下界的可行流

可行流无非就是把给定的一些条件转化为最大流可以完成的任务，著名的题目有SGU上的两道题P194 Reactor Cooling和P176 Flow Construction。第一题我本想依靠自己想出最大流的模型，不过最后还是看了题解。

这里简要讲一下P194 Reactor Cooling这道题的解法，这题在ACdream上也有，P1211。题意大概为给你n个点，m条边，每条边有上下界流，然后要保证每个点出流和入流一样。

建立超级源st和超级汇tr，对于每条边的容量为自己上下界流之差，记录每个点入出流情况。假如入流多，那st到该点加一条边即多出来的入流，反之，就该点引边向tr，值是这个绝对值。至于为什么这样，只有自己模拟一遍，自己说服自己了，说实在是说不清楚。不过有一点可以帮助你理解，这道题判断是否可行，是要st每条边都满流，之前因为st的边是由入流情况决定的，而其他边是上下界之差，即其他边是忽略了下界的判断的，那所有关于下界的判断全部集中于st引出的边，st引出的边正是保证他们下界之上的关键，而上下界之差的边则控制了上界。那为什么st引出的边保证了他们下界之上呢？因为假如每条边都是下界，那有些点必溢出，这些溢出的流则由超级源提供了。上下界之差控制上界应该好理解。

你理解了吗？

Reactor Cooling的代码：

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstdlib>#include<ctime>#include<string>#include<cstring>#include<algorithm>#include<fstream>#include<queue>#include<stack> #include<vector>#include<cmath>#include<iomanip>#define rep(i,n) for(i=1;i<=n;i++)#define MM(a,t) memset(a,t,sizeof(a))#define INF 1e9typedef long long ll;#define mod 1000000007using namespace std; int n,m,np,nc,st,tr; int res;struct edge{  int s,e,lest;}eg[40020];int w[220][220],inout[220];int gap[220],dis[220],pre[220];queue<int> Q;void BFS(){int i,j;MM(gap,0); MM(dis,0);dis[tr]=0; gap[0]=1;while(!Q.empty()) Q.pop(); Q.push(tr);while(!Q.empty()){int s,e=Q.front(); Q.pop();for(s=0;s<=n;s++)if(!dis[s] && w[s][e]){dis[s]=dis[e]+1;gap[dis[s]]++; Q.push(s);}} //for(i=0;i<=n;i++) cout<<dis[i]<<' '; cout<<'\n';}int ISAP(){  BFS();  int i,u=st,j,ans=0,md;  pre[st]=-1;  while(dis[u]<=n){  if(u==tr){  int minflow=INF;  for(i=pre[u];i!=-1;u=i,i=pre[i])  minflow=min(minflow,w[i][u]);for(i=pre[u=tr];i!=-1;u=i,i=pre[i]){w[i][u]-=minflow;w[u][i]+=minflow;}ans+=minflow;  }    for(i=0;i<=n;i++)      if(w[u][i]>0 && dis[i]+1==dis[u]) break;    if(i<=n){    pre[i]=u;    u=i;    }    else{    if(--gap[dis[u]]==0) break;    for(md=n,i=0;i<=n;i++)      if(w[u][i]>0) md=min(md,dis[i]);      dis[u]=md+1;      gap[dis[u]]++;      if(u!=st) u=pre[u];    }  }  return ans;}int main(){int i,j,i1,i2,i3;string si;    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){      MM(w,0); MM(inout,0);      rep(i,m){      int s,e,v1,v2;      scanf("%d%d%d%d",&s,&e,&v1,&v2);      eg[i].s=s; eg[i].e=e; eg[i].lest=v1;      inout[s]-=v1; inout[e]+=v1;      w[s][e]=v2-v1;      }       st=0; tr=n+1; n++;  rep(i,n-1)  if(inout[i]<0) w[i][tr]=-inout[i];  else           w[st][i]=inout[i];  ISAP();  bool ff=true;  rep(i,n-1)  if(w[st][i]!=0){      ff=false;break;    }     if(!ff) printf("NO\n");    else{      printf("YES\n");rep(i,m) printf("%d\n",eg[i].lest+w[eg[i].e][eg[i].s]);    }    }return 0;}