似然函数likelihood function

在数理统计学中，似然函数是一种关于统计模型中的参数的函数，表示模型参数中的似然性。“似然性””与“概率”意思相近，都是指某种事件发生的可能性，但是在统计学中，“似然性”和“概率”又有明确的区分。概率用于在已知一些参数的情况下，预测接下来的观测所得到的结果，而似然性则是用于在已知某些观测所得到的结果时，对有关事物的性质的参数进行估计。在这种意义上，似然函数可以理解为条件概率的逆反。

似然函数定义为：

，它的意义为在A事件已经发生的情况下，参数B取b的可能性，a为大于0的常数。

举一个抛硬币的例子：

考虑投掷一枚硬币的实验。通常来说，已知投出的硬币正面朝上和反面朝上的概率各自是，便可以知道投掷若干次后出现各种结果的可能性。比如说，投两次都

是正面朝上的概率是0.25。用条件概率表示，就是：。

H表示正面朝上。

在统计学中，我们关心的是在已知一系列投掷的结果时，关于硬币投掷时正面朝上的可能性的信息。

因此，我们已知两次正面朝上的事实HH，假设不知道pH的概率，我们要求正面朝上的概率。

似然函数的重要性不是它的具体取值，而是当参数变化时函数到底变小还是变大。

在这个例子中，似然函数实际上等于：

，其中

如果取，那么似然函数达到最大值1。也就是说，当连续观测到两次正面朝上时，假设硬币投掷时正面朝上的概率为1是最合理的。

类似地，如果观测到的是三次投掷硬币，头两次正面朝上，第三次反面朝上，那么似然函数将会是：

这时候，似然函数的最大值将会在的时候取到。也就是说，当观测到三次投掷中前两次正面朝上而后一次反面朝上时，估计硬币投掷时正面

朝上的概率是最合理的。

最后附上硬币正面朝上的概率和似然度的取值之间的关系：