FFT算法学习心得

 1。通常的FFT算法：　直接计算离散傅立叶变换具有n^2的复杂度，而cooley   和tukey在1965年发现了一种计算离散傅立叶变换的快速算法(即通常所说的FFT算法)，这个算法在计算变换长度n=2^k的离散傅立叶变换时，具有   n*k   的复杂度，即O(n)=n*log2(n),   下面以此为例，讲讲快FFT的特点。  
      1)复数运算：傅立叶变换是基于复数的，因此首先知道复数的运算规则，在FFT算法中，只涉及复数的加、减和乘法三种运算。一个复数可表示为   c=(  x,yi),   x   为复数的实部，y为复数的虚部，i为虚数单位，等于-1的平方根。复数的运算规则是:若c1   表示为   (x1,y1),c2   表示为(x2,y2),   则   (x1+x2,y1+y2)和(x1-x2,y1-y2)分别等于c1+c2的和，c1-c2的差，复数的乘法相对复杂一些，c1*c2   的积为   (x1*x2-y1*y2,x1*y2+x2*y1).  
       
        2)蝶形变换：普通的FFT算法称为基2的FFT算法，这种算法的核心是蝶形变换   长度为n=2^k1的变换共需要做   k1   *   n/2   次蝶形变换，若需变换数据表示为一个复数数组c[],则每次蝶形变换有2个输入   c[i],c[i+s],两个输出:c[i],c[i+s]，s成为翅间距。   每个变换的基本算法是：  
       
      t=wr   *   c[i+s];    
      c[i+s]=c[i]-t;  
      c[i]=c[i]+t;  
   
        前面说过，长度为n=2^k1的变换共需要做   k1   *   n/2次变换，实际的程序是一个3层循环,共需要k1*k2*(k3/2)次变换(k2*k3/2=n/2)。前面的wr是w的整数次方，w=e^(-2*PI/k3)   (k3=2,4,8,16...n,PI是圆周率)，也成为旋转因子，例如n=32的变换需要log2(32)=5趟变换:  
        第1趟变换需要16*1次变换，翅间距是1,     若w=e^(-2*PI/2)，   则wr=w^1  
        第2趟变换需要8*2次变换，   翅间距是2,     若w=e^(-2*PI/4)，   则wr=w^1,w^2  
        第3趟变换需要4*2次变换，   翅间距是4,     若w=e^(-2*PI/8)，   则wr=w^1,w^2,w^3,w^4    
        第4趟变换需要2*8次变换，   翅间距是8,     若w=e^(-2*PI/16)，则wr=w^1,w^2,w^3,w^4,w^5,w^6,w^7,w^8  
        第5趟变换需要16*1次变换，翅间距是16,   若w=e^(-2*PI/32)，则wr=w^1,w^2,w^3,w^4,w^5...w^15,w^16  
   
      3)w数组，w   的实部=cos(2*PI/k3),w的虚部=   -sin(2*PI/k3),计算出w,则wr数组就好求了，不断即相乘即可，当然也可以通过三角函数直接求。w^p   的实部=cos(2*PI/K3*p),虚部=-sin(2*PI/k3*p)  
   
    4)复数数组排序，在基2的蝶形变换中，复数数组需要重新排序，c[i]   要放置到数组c的第   reverse(c[i])   的位置，m=reverse(n)   函数的算法是这样的，若   n的   k位2进制的为b[],   b[k-1],B[k-2],...b[2],b[1],b[0],(   b[i]   等于1或者0,b[0]为最低bit).   则m=reverse(n)的2进制的为   b[0],b[1],b[2],b[3],...b[k-1]   (b[k-1]为最低bit).  
   
  　2.更复杂的变换算法：基2的蝶形变换算法不止一种，它可分为2类，一类为基2时分傅立叶变换，另一类为基2频分傅立叶变换。上例的变为基2时分算法，在每一趟变换中，翅间距依次变大，第一趟为2，最后一趟为n/2,数组重排在变换之前进行，基2频分算法正好相反，翅间距依次缩小，起于n/2，止于2，数组重排在蝶形变换之后进行。   在＜傅立叶变换＞一书中，提到3种基2时分变换，3种基2频分变换。上述算法称为基2时分FFT第二种算法。我在看你的这个程序的同时，还看到朱志刚写的一个FFT程序，这个程序的算法是基2时分FFT第一种算法，它比经典的算法更复杂，需要对wr数组进行逆序排列。  
   
  　3.更复杂的FFT算法，除了基2   的FFT算法外，还有更加复杂的基4算法，基8算法，甚至基3,基5算法，纯粹的基4算法只能计算长度为4^k的变换，但它比基2的算法速度更高。为了提高速度，很多FFT算法使用混合基算法。关于混合基FFT算法我还在学习中，希望有高手给予帮助。