UVA 11168 Airport(凸包+直线两点式转一般式)
来源:互联网 发布:手机网页排版软件 编辑:程序博客网 时间:2024/04/29 07:50
UVA 11168 Airport(凸包+直线两点式转一般式)
题意:
平面上有n个点,你要找一条直线,使得所有点都是直线的同一侧(可以在直线上),且所有点到直线的距离和最小. 问你所有点到直线的距离和最小是多少(要求输出平均值)?
分析: 刘汝佳<<训练指南>>P274 例题7
首先如果存在这样的直线,那么该直线肯定是点集凸包的某一条边.(可以画图验证一下,与凸包相离的直线肯定不考虑,与凸包相交1点的直线可以通过旋转来继续缩短所有点到直线的距离和)
由于凸包最多有n条边,所以我们需要一次求出所有点到这n条边的距离和. 点到直线的距离这里我们用解析几何的方式来算:
点(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离= |Ax0+By0+C|/sqrt(A*A+B*B)
要求n个点的距离,就是上面的n个式子相加,由于所有点在直线同侧,所以我们可以先不考虑绝对值,直接求和,最后再求绝对值,所以最终结果为(x_all和y_all为所有点的x与y坐标之和):
fabs(A*x_all+B*y_all+n*C)/sqrt(A*A+B*B)
之后我们只要对比n个值找出最小的即可.
最后还有一个问题:已知直线的两点坐标(x1,y1)与(x2,y2)如何得到直线的 Ax+By+C=0的方程? 假设直线上的点为(x,y),由斜率相同可得公式: (y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1) ,化简可得 (y-y1)*(x2-x1)=(x-x1)*(y2-y1), 化简可得 (y2-y1)*x-(x2-x1)*y+y1(x2-x1)-x1(y2-y1)=0.对比可知:
A=(y2-y1) B=-(x2-x1) C=y1(x2-x1)-x1(y2-y1)=-y1*B-x1*A
注意当整个点集的凸包退化成一条线段时,总距离==0.
AC代码:
#include<cstdio>#include<cstring>#include<vector>#include<cmath>#include<algorithm>using namespace std;const double eps=1e-10;int dcmp(double x){ if(fabs(x)<eps) return 0; return x<0?-1:1;}struct Point{ double x,y; Point(){} Point(double x,double y):x(x),y(y){} bool operator==(const Point& B)const { return dcmp(x-B.x)==0 && dcmp(y-B.y)==0; } bool operator<(const Point &B)const { return dcmp(x-B.x)<0 || (dcmp(x-B.x)==0 && dcmp(y-B.y)<0); }};typedef Point Vector;Vector operator-(Point A,Point B){ return Vector(A.x-B.x,A.y-B.y);}double Cross(Vector A,Vector B){ return A.x*B.y-A.y*B.x;}int ConvexHull(Point *p,int n,Point *ch){ sort(p,p+n); n=unique(p,p+n)-p; int m=0; for(int i=0;i<n;++i) { while(m>1 && Cross(ch[m-1]-ch[m-2], p[i]-ch[m-2])<=0 ) m--; ch[m++]=p[i]; } int k=m; for(int i=n-2;i>=0;i--) { while(m>k && Cross(ch[m-1]-ch[m-2], p[i]-ch[m-2])<=0) m--; ch[m++]=p[i]; } if(n>1) m--; return m;}/***以上为刘汝佳模板***/void get_line(Point p1,Point p2,double &a,double &b,double &c){ a=p2.y-p1.y; b=p1.x-p2.x; c=-p1.y*b-p1.x*a;}const int maxn=10000+5;Point p[maxn],q[maxn];int main(){ int T; scanf("%d",&T); for(int kase=1;kase<=T;kase++) { int n; double x_all=0,y_all=0; scanf("%d",&n); for(int i=0;i<n;i++) { scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y); x_all+=p[i].x; y_all+=p[i].y; } int m=ConvexHull(p,n,q); if(m<=2)//注意这里不是 m==2 { printf("Case #%d: 0.000\n",kase); continue; } double ans=1e10;//最小距离 for(int i=0;i<m;++i) { double a,b,c; get_line(q[i],q[(i+1)%m],a,b,c); ans=min(ans, fabs(a*x_all+b*y_all+n*c)/sqrt(a*a+b*b)); } printf("Case #%d: %.3lf\n",kase,ans/n); } return 0;}
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