Dancing Links 学习 AND 代码详解

今天花时间学习了下Dancing Links，其核心思想是降低在搜索中的范围，减少复杂。降低的方法就是将用链式结构构造的图中不需要的点去掉。如果回溯再恢复。

这个方法依赖的数据结构是用数组存储的十字链表L[NN],R[NN],U[NN],D[NN] 左右上下的链接

构造数据结构：

head,cnt,L[NN],R[NN],U[NN],D[NN],H[NN],COL[NN],S[NN],ROW[NN]

head就是头结点，cnt就是在构图时结点的编号，S[NN]是某一列上有多少个元素，COL[NN]，ROW[NN]是一个点对应的行列数，H[NN]是该行的最后一个点的编号

主要的数据结构就是这样。接下来看代码

#define head 100int U[N],D[N],L[N],R[N];int C[N],H[N],ans[N];//C[N]表示N的列标，H[N]表示N的行标，ans[]用来储存结果bool dance(int k){     int c = R[head];     if(c==head) {           Output();//Output the solution           return true;     }     remove(c);          for(int i=D[c]; i!=c; i=D[i])     {           ans[k] = H[i];           for(int j=R[i]; j!=i; j=R[j]) remove(C[j]);           if(dance(k+1)) return true;           for(int j=L[i]; j!=i; j=L[j]) resume(C[j]);//这里原因和resume中的一样     }          resume(c);     return false;}void remove(int c){     L[R[c]] = L[c];     R[L[c]] = R[c];     for(int i=D[c]; i!=c; i=D[i]) {           for(int j=R[i]; j!=i; j=R[j]) {                U[D[j]] = U[j];                D[U[j]] = D[j];           }     }}/*resume还有另一种写法，就是将L,R的改变放在最后，循环中U,D调换位置。这其实没什么影响因为L,R都是一条语句不影响其他U,D都是单个操作，而外层循环必须是U的循环，即一个个拿下来在按顺序放回去，不然会错误，自己用纸试一下*/void resume(int c){     L[R[c]] = c;     R[L[c]] = c;     for(int i=U[c]; i!=c; i=U[i]) {           for(int j=R[i]; j!=i; j=R[j]) {                 U[D[j]] = j;                 D[U[j]] = j;           }     }}

上面知识Dancing Links 的几个基本操作还有涉及构图。下面以POJ 3740为例：

#include <cstdio>#include <cstring>#include <iostream>using namespace std;const int NN=600;int head,cnt,L[NN],R[NN],U[NN],D[NN],H[NN],C[NN],S[NN],ROW[NN];//上下左右 一行的最右，C结点对应的列，S该列的个数int N,M;/*这里插入一个元素，则对竖直方向改变不大 原本的上一个元素的D，表头的U，当前的D指向表头，U指向表头暂存的对于水平方向，注意开头的那个元素的L，前一个元素的R，自己的L=前一个，R=开头。开头标号的暂存在前一个的R中*/void insert(int i,int j){    C[++cnt]=j;    S[j]++;    D[cnt]=j;    U[cnt]=U[j];    if(H[i]){R[cnt]=R[H[i]];L[cnt]=H[i];R[H[i]]=cnt;L[R[cnt]]=cnt;}else     R[cnt]=L[cnt]=cnt;D[U[j]]=cnt;U[j]=cnt;H[i]=cnt;}void remove(int c)//删除第c列上的元素所在的行{    R[L[c]]=R[c];    L[R[c]]=L[c];    //删除c,c是列指针,删除了c就代表删除了整列,因为递归后不可能访问到c了    for (int i=D[c]; i!=c; i=D[i]) //c所在列上的元素i        for (int j=R[i]; j!=i; j=R[j]) //i和j一行的,删掉j        {            U[D[j]]=U[j];            D[U[j]]=D[j];            S[C[j]]--;//j所在列的元素(‘1’的个数)-1;        }}void resume(int c)//对应的恢复操作{     L[R[c]] = c;       R[L[c]] = c;       for(int i=U[c]; i!=c; i=U[i]) {             for(int j=R[i]; j!=i; j=R[j]) {                   U[D[j]] = j;                   D[U[j]] = j;             }       }  }bool dance(){int i,j;    if (R[head]==head)//列指针删完了,任务完成    {        puts("Yes, I found it");        return true;    }    int s=0x3fff,c;    for ( i=R[head]; i!=head; i=R[i]) if (S[i]<s) s=S[i],c=i;    //找元素最少的列c,一种优化    remove(c);//删除列c    for ( i=D[c]; i!=c; i=D[i])    {        for ( j=R[i]; j!=i; j=R[j]) remove(C[j]);//删除所有可能的冲突元素        if (dance()) return true;        for ( j=L[i]; j!=i; j=L[j]) resume(C[j]);    }    resume(c);    return false;}/*初始化注意，由于有head，则构图时下标都从1开始，每个元素都是自然下标cnt的赋值不要忘记*/void init(){int i,j,k;for(i=0;i<=M;i++){L[i+1]=i;R[i]=i+1;U[i]=D[i]=C[i]=i;S[i]=0;}L[0]=M,R[M]=0;cnt=M;for(i=1;i<=N;i++){H[i]=0;for(j=1;j<=M;j++){scanf("%d",&k);if(k)insert(i,j);}}}int main(){    int c,i;    head=0;    while (~scanf("%d%d",&N,&M))    {       init();   if(!dance())   puts("It is impossible");}    return 0;}

还有一种就是原始的dfs:

#include <iostream>#include <stdio.h>#include <algorithm>#include <string.h>#include <math.h>using namespace std;int N,M,T;int maps[20][310];int rows[310];int dfs(int n,int cnt){if(cnt==N) return 1;int i,j,k;for(i=n;i<M;i++){k=cnt;for(j=0;j<N;j++)if(maps[i][j]==1 && rows[j]==1)break;if(j<N)continue;for(j=0;j<N;j++)if(maps[i][j]==1)rows[j]=1,k++;if(dfs(i+1,k))return 1;for(j=0;j<N;j++)if(maps[i][j]==1)rows[j]=0;}return 0;}int main(){    while(scanf("%d%d",&M,&N)!=EOF){int i,j;memset(rows,0,sizeof(rows));memset(maps,0,sizeof(maps));for(i=0;i<M;i++)for(j=0;j<N;j++)scanf("%d",&maps[i][j]);if(dfs(0,0))printf("Yes, I found it\n");elseprintf("It is impossible\n");    }    return 0;}

重复覆盖与精确覆盖做法稍有不同

精确覆盖：
首先选择当前要覆盖的列(含1最少的列)，将该列和能够覆盖到该列的行全部去掉，再枚举添加的方法。
枚举某一行r，假设它是解集中的一个，那么该行所能覆盖到的所有列都不必再搜，所以删除该行覆盖到的所有列，又由于去掉的列相当于有解，所以能够覆盖到这些列的行也不用再搜，删之。
重复覆盖：
首先选择当前要覆盖的列(同上)，将该列删除，枚举覆盖到该列的所有行：对于某一行r，假设它是解集中的一个，那么该行所能覆盖到的列都不必再搜，所以删除该行覆盖到的所有列。
注意此时不用删去覆盖到这些列的行，因为一列中允许有多个1。
这里有一个A*的优化：估价函数h意义为从当前状态最好情况下需要添加几条边才能覆盖。