UVa 11762 Race to 1 期望

来源：互联网发布：房屋平面图软件编辑：程序博客网时间：2024/04/28 20:33

题目链接：http://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=2862

题目大意：给你一个整数N，每次可以在不超过N的素数中随机选择一个P,如果P是N 的约数，则把N变成N/P,否则N不变，问平均情况下需要多少次平均选择，才能把N变成1？

解题思路：每个数字出发的所有转移概率之和等于1，N的每个约数（包括 N 和1）对应一个状态.设f[i]表示当前的数为i时接下来需要选择的次数，故每个状态可以列一个方程，如：f[6]=1+f[6]*1/3+f[3]*1/3+f[2]*1/3;(小于6有三个素数，5，3，2，其中3，2是6的约数) 等式最前面的1是指第一次转移，后面几项是后续转移，用全期望公式展开。

一般地，设不超过x的素数有p[x]个，其中g[x]个是x的因子，则有 f[x]=1+(f[x]*(p[x]-g[x])/p[x])+Σ(y是x的因子的个数)f[x/y]*(1/p[x]),边界为f[1]=0;

移项整理后得 f[x]=(p[x]+Σ(y是x的因子的个数)f[x/y])/g[x];代码如下：

#include<stdio.h>#include<cstring>#include<algorithm>using namespace std;#define N 1000005int vis[N],p[80000];double f[N];int cnt=0;void prime(){    for(int i=2;i<N;i++)    {        if(vis[i]==0)        {            p[cnt++]=i;            for(int j=i+i;j<N;j+=i)                vis[j]=1;        }    }}double dfs(int v){    if(vis[v]) return f[v];    if(v==1) return 0;    vis[v]=1;    int ct=0,gt=0;    for(int i=0;i<cnt&&p[i]<=v;i++)    {        ct++;        if(v%p[i]==0)        {           gt++;           f[v]+=dfs(v/p[i]);        }    }    f[v] = (f[v] + ct) * 1.0 / gt;    return f[v];}int main(){    prime();    int T,n,cas=1;    scanf("%d",&T);    while(T--)    {        memset(vis,0,sizeof(vis));        memset(f,0,sizeof(f));        scanf("%d",&n);        double ans=dfs(n);        printf("Case %d: %.10lf\n",cas++,ans);    }    return 0;}

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