欧拉角与四元数

来源：互联网发布：sql删除表里面的数据编辑：程序博客网时间：2024/05/02 00:58

以下文章摘自wiki百科：

对于在三维空间里的一个参考系，任何坐标系的取向，都可以用三个欧拉角来表现。参考系又称为全局坐标系，是静止不动的。而局部坐标系则固定于刚体，随着刚体的旋转而旋转。

参閲右图。设定 x-y-z轴为全局坐标系的参考轴。称 x-y平面与 X-Y平面的相交为交点线，用英文字母(Ｎ)代表。 zxz 顺规的欧拉角可以静态地这样定义:

α 是 x-轴与交点线的夹角，
β 是 z-轴与Z-轴的夹角，
γ 是交点线与X-轴的夹角。

很可惜地，对于夹角的顺序和标记，夹角的两个轴的指定，并没有任何常规。科学家对此从未达成共识。每当用到欧拉角时，我们必须明确的表示出夹角的顺序，指定其参考轴。

实际上，有许多方法可以设定两个坐标系的相对取向。欧拉角方法只是其中的一种。此外，不同的作者会用不同组合的欧拉角来描述，或用不同的名字表示同样的欧拉角。因此，使用欧拉角前，必须先做好明确的定义。

角值范围

α，γ值从 0 至 2π 。
β值从 0 至 π 弧度。

对应于每一个取向，设定的一组欧拉角都是独特唯一的；除了某些例外：

两组欧拉角的 α ，一个是 0 ，一个是 2π ，而 β 与 γ 分别相等，则此两组欧拉角都描述同样的取向。

两组欧拉角的 β ，一个是 0 ，一个是 2π ，而 α 与 β 分别相等，则此两组欧拉角都描述同样的取向。

旋转矩阵

前面提到，设定刚体取向的旋转矩阵 [R] 是由三个基本旋转矩阵合成的：

$[\mathbf{R}] = \begin{bmatrix}\cos \gamma & \sin \gamma & 0 \\-\sin \gamma & \cos \gamma & 0 \\0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & \cos \beta & \sin \beta \\0 & -\sin \beta & \cos \beta \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\cos \alpha & \sin \alpha & 0 \\-\sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

从左到右依次代表绕着z轴的旋转、绕着交点线的旋转、绕着Z轴的旋转。

乘开以后得到：

$[\mathbf{R}] = \begin{bmatrix}\cos\alpha\cos\gamma-\cos\beta\sin\alpha\sin\gamma & \sin\alpha\cos\gamma+\cos\beta\cos\alpha\sin\gamma & \sin\beta\sin\gamma\\-\cos\alpha\sin\gamma-\cos\beta\sin\alpha\cos\gamma & -\sin\alpha\sin\gamma+\cos\beta\cos\alpha\cos\gamma & \sin\beta\cos\gamma \\ \sin\beta\sin\alpha & -\sin\beta\cos\alpha & \cos\beta \end{bmatrix}$

其逆矩阵为：

$[\mathbf{R}]^{-1}= \begin{bmatrix}\cos\alpha\cos\gamma-\cos\beta\sin\alpha\sin\gamma & -\cos\alpha\sin\gamma-\cos\beta\sin\alpha\cos\gamma & \sin\beta\sin\alpha\\ \sin\alpha\cos\gamma+\cos\beta\cos\alpha\sin\gamma & -\sin\alpha\sin\gamma+\cos\beta\cos\alpha\cos\gamma & -\sin\beta\cos\alpha\\ \sin\beta\sin\gamma & \sin\beta\cos\gamma & \cos\beta \end{bmatrix}$

别种顺序

在经典力学里，时常用 zxz 顺规来设定欧拉角；照着第二个转动轴的轴名，简称为 x 顺规。另外，还有别种欧拉角组。合法的欧拉角组中，唯一的限制是，任何两个连续的旋转，必须绕着不同的转动轴旋转。因此，一共有 12 种顺规。例如，y 顺规，第二个转动轴是 y-轴，时常用在量子力学，核子物理学，粒子物理学。另外，还有一种顺规，xyz 顺规，是用在航空航天工程学；参阅Tait-Bryan angles。

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