hdu1395 2^x mod n = 1

2^x mod n = 1

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Problem Description

Give a number n, find the minimum x(x>0) that satisfies 2^x mod n = 1.

 

Input

One positive integer on each line, the value of n.

 

Output

If the minimum x exists, print a line with 2^x mod n = 1.

Print 2^? mod n = 1 otherwise.

You should replace x and n with specific numbers.

 

Sample Input

25

 

Sample Output

2^? mod 2 = 12^4 mod 5 = 1
#include<stdio.h>int main(){int x,t,n;while(scanf("%d",&n)!=EOF){if(n==1||n%2==0)printf("2^? mod %d = 1\n",n);else{x=1;t=2;while(t%n!=1){x++;t=t*2%n;}printf("2^%d mod %d = 1\n",x,n);}}return 0;}

题目中给出输入一个整数n，要求一个最小整数的x，使得2^x mod n=1;
根据模P乘法逆元：对于整数a、p如果存在整数b，满足a*b mod p=1则称b是a的模P乘法逆元。
a存在模P的乘法逆元的充要条件是gcd(a,p)=1，令a=2^x，b=1，p=n
则若存在x使用2^x mod n=1则gcd(2^x,n)=1
(1)因为要求x的值大于0。则2^x的因子中只有一个2,所以当n为偶数时gcd(2^x,n)=2k(k=1,2,3...)，即此时不存在x使得2^x mod n=1。
(2)当n为奇数时gcd(2^x,n)=1，则必存在x使得2^x mod n=1。
(3)由于任何数模1的结果为0，所以当n=1时，无论x取何值，2^x mod n=0.
综合上述(1),(2),(3)，当n的值为1或偶数时，不存在x使得2^x mod n=1，其它情况则必存在一x使得2^x mod n =1。