数据结构之树

1.树的概念

之前我们一直在谈的都是一对一的线性结构，可现实中，还有很多一对多的情况需要处理，所以我们需要研究这种一对多的数据结构——“树”，考虑它的各种特性，来解决我们在编程中碰到的相关问题。

树（Tree）是n个结点的有限集。n=0时称为空树。

在任意一棵非空树中：有且仅有一个特定的称为根（Root）的结点；当n>1时，其余结点可分为m个互不相交的有限集T1、T2、......、Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树（SubTree）。

2.结点分类

树的结点包含一个数据元素及若干指向其子树的分支。结点拥有的子树数称为结点的度（Degree）。度为0的结点称为叶结点（Leaf）或终端结点；度不为0的结点称为非终端结点或分支结点。除根结点之外，分支结点也称为内部结点。树的度是树内各结点的度的最大值。

3.结点间关系

结点的子树的根称为该结点的孩子（Child），相应地，该结点称为孩子的双亲（Parent）。

同一个双亲的孩子之间互称兄弟（Sibling）。

结点的祖先是从根到该结点所经分支上的所有结点。反之，以某结点为根的子树中的任一结点都称为该结点的子孙。

结点的层次（Level）从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层。若某结点在第I层，则其子树的根就在第I+1层。其双亲在同一层的结点互为堂兄弟。

树中结点的最大层次称为树的深度（Depth）或高度。

4.二叉树

二叉树（Binary Tree）是n个结点的有限集合，该集合或者为空集（称为空二叉树），或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成。

5.二叉树特点

每个结点最多有两棵子树，所以二叉树中不存在度大于2的结点。注意不是只有两棵子树，而是最多有。没有子树或者有一棵子树都是可以的。

左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒。就像人是双手、双脚，但显然左手、左脚和右手、右脚是不一样的。

即使树中某结点只有一棵子树，也要区分它是左子树还是右子树。

6.二叉树具有五种基本形态：

空二叉树

只有一个根结点

根结点只有左子树

根结点只有右子树

根结点既有左子树又有右子树

7.特殊二叉树

斜树：所有的结点都只有左子树的二叉树叫左斜树，所有结点都是只有右子树的二叉树叫右斜树。这两者统称为斜树。斜树有很明显的特点，就是每一层都只有一个结点，结点的个数与二叉树的深度相同。线性表结构可以理解为是树的一种极其特殊的表现形式。

满二叉树：在一棵二叉树中，如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。

单是每个结点都存在左右子树，不能算是满二叉树，还必须要所有的叶子都在同一层上，这就做到了整棵树的平衡。因此，满二叉树的特点有：

叶子只能出现在最下一层，出现在其他层就不可能达到平衡

非叶子结点的度一定是2，否则就是“缺胳膊少腿”了

在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子数也最多

完全二叉树：对一棵具有n个结点的二叉树按层序编号，如果编号为i的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中的位置完全相同，则这课二叉树称为完全二叉树。

满二叉树一定是一棵完全二叉树，但完全二叉树不一定是满的。

完全二叉树的特点：

叶子结点只能出现在最下两层

最下层的叶子一定集中在左部连续位置

倒数二层，若有叶子结点，一定都在右部连续位置

如果结点度为1，则该结点只有左孩子，即不存在只有右子树的情况

同样结点数的二叉树，完全二叉树的深度最小

8.二叉树的性质

性质1：在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个结点

性质2：深度为k的二叉树至多有2^k-1个结点

性质3：对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为N0，度为2的结点数为N2，则N0=N2+1

性质4：具有n个结点的完全二叉树的深度为[Log2N]+1

性质5：如果对一棵有n个结点的完全二叉树的结点按层序编号，对任一结点i有：

如果i=1，则结点i为二叉树的根，无双亲；如果i>1，则其双亲是结点[i/2]

如果2i>n，则结点i无左孩子；否则其左孩子是结点2i

如果2i+1>n，则结点i无右孩子；否则其右孩子是结点2i+1

9.二叉树的存储结构

顺序存储结构一般只用于完全二叉树，通常使用二叉链表。

10.二叉树的遍历

二叉树的遍历（traversing binary tree）是指从根结点出发，按照某种次序依次访问二叉树中所有结点，使得每个结点被访问依次且仅被访问一次。

二叉树遍历方式可以很多，如果我们限制了从左到右的习惯方式，那么主要就分为四种：前序遍历、