快速判断一个非负整数是否为完全平方数

定义：

若一个数能表示成某个自然数的平方的形式，则称这个数为完全平方数。

性质：
1. 完全平方数是非负整数。
2. 十进制的完全平方数的末位数只能是0, 1, 4, 5, 6, 9; 十六进制的完全平方数的末位数只能是0, 1, 4, 9。
3. 除0以外的完全平方数是从1开始的连续的奇数的和，例如: 1 = 1, 4 = 1 + 3, 9 = 1 + 3 + 5, 16 = 1 + 3 + 5 + 7。

判断思路：
1. 利用定义，即对输入的非负整数开根，得到浮点数，再四舍五入到整数（即最接近的整数），看该整数的平方是否与输入的非负整数相同。
2. 利用性质3，首先判断输入的非负整数是否为0，再判断是否为从1开始的连续的奇数的和（即依次减去1, 3, 5...，直到出现等于0或小于0的结果，等于0则是完全平方数，小于0则不是）

优化思路：
利用性质2，通过输入的非负整数的末尾数字来过滤不可能是完全平方数的数。在十进制表示下，完全平方数的末位数只能是0, 1, 4, 5, 6, 9，这是比较好理解的（即枚举1到9的平方的末尾数）。同理，在十六进制表示下，我们只需要枚举1到15的平方的末尾数即可，为0，1，4，9，如下所示。

0x0 * 0x0 % 0x10 = 0x0

0x1 * 0x1 % 0x10 = 0x1

0x2 * 0x2 % 0x10 = 0x4

0x3 * 0x3 % 0x10 = 0x9

0x4 * 0x4 % 0x10 = 0x0

0x5 * 0x5 % 0x10 = 0x9

0x6 * 0x6 % 0x10 = 0x4

0x7 * 0x7 % 0x10 = 0x1

0x8 * 0x8 % 0x10 = 0x0

0x9 * 0x9 % 0x10 = 0x1

0xa * 0xa % 0x10 = 0x4

0xb * 0xb % 0x10 = 0x9

0xc * 0xc % 0x10 = 0x0

0xd * 0xd % 0x10 = 0x9

0xe * 0xe % 0x10 = 0x4

0xf * 0xf % 0x10 = 0x1

这里有人会问了，为什么取十六进制表示下的末尾数呢？这里我做如下解释：
1. 我们都知道，计算机以二进制来表示数字，位运算速度是最快的，十六进制表示下的末尾数就是二进制下的末4位数，只需要将输入的非负整数与0xF做按位与（&）运算，就可以得到十六进制下的末尾数。因而，得到十六进制下的末尾数比得到十进制下的末尾数要快。
2. 此外，十进制末尾数的过滤比例为1-(5/10)=1/2；十六进制末尾数的过滤比例则为1-(4/16)=3/4；十六进制比十进制能够过滤掉更多的数。
3. 再多说一句，取2^n进制（比如八进制、六十四进制）都是可以的，n越大，过滤掉的数的比例就越高。

代码：

import math, timeitimport matplotlib.pyplot as pltimport numpy as npdef is_perfect_square_sqrt(n):    root = int(math.sqrt(n) + 0.5)    return root ** 2 == n# Filter hexadecimal number whose last digit in not in [0, 1, 4, 9]def hex_filter(n):    digit = n & 0xf    if digit not in [0, 1, 4, 9]:        return False    else:        return Truedef show_last_digit():    print 'If a number is a perfect square, \           then the last digit of the number in hexadecimal notation must be 0, 1, 4 or 9.'    for i in range(16):        print "%s * %s %% %s = %s" % (hex(i), hex(i), hex(16), hex((i ** 2) % 16))# All perfect squares are sums of consecutive odd numbers:# 1 = 1# 4 = 1 + 3# 9 = 1 + 3 + 5# 16 = 1 + 3 + 5 + 7def is_perfect_square_sub(n):    i = 1;    while True:        if n < 0:            return False        elif n == 0:            return True        else:            n -= i            i += 2if __name__ == '__main__':    # Show the possible last digit of the hexadecimal perfect square number    # show_last_digit()            # Check if the results of the four methods are the same    '''    sqrt = []    sqrt_filter = []    sub = []    sub_filter = []    for i in range(100000):        if is_perfect_square_sqrt(i):            sqrt.append(i)        if is_perfect_square_sub(i):            sub.append(i)        if hex_filter(i) and is_perfect_square_sqrt(i):            sqrt_filter.append(i)        if hex_filter(i) and is_perfect_square_sub(i):            sub_filter.append(i)    print sqrt == sqrt_filter    print sub == sub_filter    print sqrt == sub    print sqrt_filter == sub_filter    print sqrt    '''    t = []    t.append(timeit.timeit(stmt="for i in range(100000): is_perfect_square_sqrt(i)",                           setup="from __main__ import is_perfect_square_sqrt",                           number=1000))    t.append(timeit.timeit(stmt="for i in range(100000): is_perfect_square_sub(i)",                           setup="from __main__ import is_perfect_square_sub",                           number=1000))    t.append(timeit.timeit(stmt="for i in range(100000): hex_filter(i) and is_perfect_square_sqrt(i)",                           setup="from __main__ import is_perfect_square_sqrt, hex_filter",                           number=1000))    t.append(timeit.timeit(stmt="for i in range(100000): hex_filter(i) and is_perfect_square_sub(i)",                           setup="from __main__ import is_perfect_square_sub, hex_filter",                           number=1000))        dic = dict(zip(['sqrt', 'sub', 'sqrt_filter', 'sub_filter'], t))    #print dic    for i, key in enumerate(dic):        plt.bar(i, dic[key]) # i indicates the i-th bar    plt.xticks(np.arange(len(dic)) + 0.4, dic.keys())    plt.yticks(dic.values())        plt.xlabel('Method')    plt.ylabel('Running time')        plt.show()

运行时间比较：

我们通过循环1000次，每次循环判断从0到99999每个数是否为完全平方数，来比较代码中4种算法的性能。运行时间见下图：

由于sqrt_filter和sqrt运行时间较接近，所以y轴的运行时间重叠看不清，分别是33.23355389和41.42628694。
从结果来看，hex_filter优化的时间并没有我想的那么多，可能是因为将hex_filter写作函数，函数调用增加了些额外的时间。