vijos P1755 靶形数独

描述

小城和小华都是热爱数学的好学生，最近，他们不约而同地迷上了数独游戏，好胜的他
们想用数独来一比高低。但普通的数独对他们来说都过于简单了，于是他们向 Z博士请教，
Z 博士拿出了他最近发明的“靶形数独” ，作为这两个孩子比试的题目。 
靶形数独的方格同普通数独一样，在 9 格宽×9 格高的大九宫格中有 9 个 3 格宽×3 格
高的小九宫格（用粗黑色线隔开的） 。在这个大九宫格中，有一些数字是已知的，根据这些
数字，利用逻辑推理，在其他的空格上填入 1到 9 的数字。每个数字在每个小九宫格内不能
重复出现，每个数字在每行、每列也不能重复出现。但靶形数独有一点和普通数独不同，即
每一个方格都有一个分值，而且如同一个靶子一样，离中心越近则分值越高。 （如图） 

上图具体的分值分布是：最里面一格（黄色区域）为 10 分，黄色区域外面的一圈（红
色区域）每个格子为 9 分，再外面一圈（蓝色区域）每个格子为 8分，蓝色区域外面一圈（棕
色区域）每个格子为 7分，最外面一圈（白色区域）每个格子为 6 分，如上图所示。比赛的
要求是：每个人必须完成一个给定的数独（每个给定数独可能有不同的填法） ，而且要争取
更高的总分数。而这个总分数即每个方格上的分值和完成这个数独时填在相应格上的数字
的乘积的总和。如图，在以下的这个已经填完数字的靶形数独游戏中，总分数为 2829。游
戏规定，将以总分数的高低决出胜负。 

由于求胜心切，小城找到了善于编程的你，让你帮他求出，对于给定的靶形数独，能
够得到的最高分数。

格式

输入格式

一共 9 行。每行 9 个整数（每个数都在 0—9 的范围内） ，表示一个尚未填满的数独方
格，未填的空格用“0”表示。每两个数字之间用一个空格隔开。

输出格式

输出可以得到的靶形数独的最高分数。如果这个数独无解，则输出整数-1。

样例1

样例输入1

7 0 0 9 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 5 9 0 0 0 0 0 2 0 0 0 8 0 0 0 5 0 2 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 6 4 8 4 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 7 0 0 2 0 9 0 2 0 1 0 6 0 8 0 4 0 8 0 5 0 4 0 1 2 

样例输出1

2829 

样例2

样例输入2

0 0 0 7 0 2 4 5 3 9 0 0 0 0 8 0 0 0 7 4 0 0 0 5 0 1 0 1 9 5 0 8 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 2 5 0 3 0 5 7 9 1 0 8 0 0 0 6 0 1 0 0 0 0 6 0 9 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 6 

样例输出2

2852

限制

每个测试点2s

提示

40%的数据，数独中非 0数的个数不少于 30。 
80%的数据，数独中非 0数的个数不少于 26。 
100%的数据，数独中非 0 数的个数不少于 24。

题解

一道比较好的dfs搜索。

搜索9*9的格子，在数学上总共有9^81中方案，很大，但有很多状态是废的，及时跳出即可。

然后这道题数据很特殊，卡正面搜索，从后往前搜T一个点。

话说优化搜索，我们希望dfs树尽可能的“小”，一种是迭代深搜中的限制深度，还有一种做法（因为我太弱所以不知道怎么证明，只是听伟大的lwher讲过）dfs树最好是不要让它太宽。在这道题中的表现就是，从空的格子尽量少的行（列）搜起。光加这一个优化就A了。

还有就是，听hzwer说：当剩余的数字*9加上当前的分数小于答案就返回。不过放在单独的正搜里还是会T……在此ORZ。

以下是没有优化的程序，

#include<cstdio>#include<cstring>#include<cstdlib>#include<iostream>#include<cmath>#include<algorithm>using namespace std;int a[10][10],b[10][10],h[10][10],l[10][10],f[10][10];int v[10][10]={{0,0,0,0,0,0,0,0,0,0},               {0,6,6,6,6,6,6,6,6,6},   {0,6,7,7,7,7,7,7,7,6},   {0,6,7,8,8,8,8,8,7,6},   {0,6,7,8,9,9,9,8,7,6},   {0,6,7,8,9,10,9,8,7,6},   {0,6,7,8,9,9,9,8,7,6},   {0,6,7,8,8,8,8,8,7,6},   {0,6,7,7,7,7,7,7,7,6},   {0,6,6,6,6,6,6,6,6,6},  };int sum,ans=-1;bool insert(int x,int y,int val){if(h[x][val]) return false;if(l[y][val]) return false;if(f[(x-1)/3*3+(y-1)/3+1][val]) return false;b[x][y]=val;h[x][val]=l[y][val]=f[(x-1)/3*3+(y-1)/3+1][val]=1;sum+=v[x][y]*val;return true;}void del(int x,int y,int val){b[x][y]=0;h[x][val]=l[y][val]=f[(x-1)/3*3+(y-1)/3+1][val]=0;}void dfs(int x,int y){if(x<1) {ans=max(ans,sum); return ;}if(b[x][y])   {if(y==1) dfs(x-1,9);    else dfs(x,y-1);    return;   }int i,t;for(i=1;i<=9;i++)   {t=sum;if(insert(x,y,i))       {if(y==1) dfs(x-1,9);        else dfs(x,y-1);        del(x,y,i);        sum=t;   }   }}int main(){int i,j;for(i=1;i<=9;i++)for(j=1;j<=9;j++)   {scanf("%d",&a[i][j]);    if(a[i][j]) insert(i,j,a[i][j]);   }dfs(9,9);printf("%d\n",ans);return 0;}

以下是优化过的程序。

#include<cstdio>#include<cstring>#include<cstdlib>#include<iostream>#include<cmath>#include<algorithm>using namespace std;int a[10][10],b[10][10],h[10][10],l[10][10],f[10][10];int v[10][10]={{0,0,0,0,0,0,0,0,0,0},               {0,6,6,6,6,6,6,6,6,6},   {0,6,7,7,7,7,7,7,7,6},   {0,6,7,8,8,8,8,8,7,6},   {0,6,7,8,9,9,9,8,7,6},   {0,6,7,8,9,10,9,8,7,6},   {0,6,7,8,9,9,9,8,7,6},   {0,6,7,8,8,8,8,8,7,6},   {0,6,7,7,7,7,7,7,7,6},   {0,6,6,6,6,6,6,6,6,6},  };int sum,ans=-1;bool insert(int x,int y,int val){if(h[x][val]) return false;if(l[y][val]) return false;if(f[(x-1)/3*3+(y-1)/3+1][val]) return false;b[x][y]=val;h[x][val]=l[y][val]=f[(x-1)/3*3+(y-1)/3+1][val]=1;sum+=v[x][y]*val;return true;}void del(int x,int y,int val){b[x][y]=0;h[x][val]=l[y][val]=f[(x-1)/3*3+(y-1)/3+1][val]=0;}void dfs(int x,int y){if(x<1) {ans=max(ans,sum); return ;}if(b[x][y])   {if(y==1) dfs(x-1,9);    else dfs(x,y-1);    return;   }int i,t;for(i=1;i<=9;i++)   {t=sum;if(insert(x,y,i))       {if(y==1) dfs(x-1,9);        else dfs(x,y-1);        del(x,y,i);        sum=t;   }   }}int main(){int i,j;for(i=1;i<=9;i++)for(j=1;j<=9;j++)   {scanf("%d",&a[i][j]);    if(a[i][j]) insert(i,j,a[i][j]);   }dfs(9,9);printf("%d\n",ans);return 0;}