ZJU2949 Coins of Luck - 数学期望

http://blog.csdn.net/tiaotiaoyly/article/details/2256119

题目描述：

现在有A、B面条各有N碗，用投掷硬币的方式来决定吃哪种面条。当只剩下一种面条时不需要再投掷硬币。输入N，要求将所有面条吃完投掷硬币的数学期望。（N<=1000）

分析：

这个短语一定要认识：mathematical expectation（数学期望）。

回忆求数学期望的一般方法，E=∑ pi×xi。即所有可能的取值×取值的概率然后求和。

我们只考虑把A面条吃完，剩下若干B面条的情况，得出的结果乘以2即可。记组合数c(i,n)为c[n][i]；记2的n次幂为pow2[n]。

那么吃完n碗A面条，吃了i碗B面条(0<=i<n)时的概率为：c[n-i-1][i] / pow2[n+i]；这种情况下投掷硬币的次数为n+i；

那么总的期望公式为：E =  2 × ∑( ( c[n-i-1][i] / pow2[n+i] ) × ( n+i ) ) , (0<=i<n)

可以这样理解：总共吃了n+i碗面条，一共要投掷n+i次硬币，所以一共有pow2[n+i]种可能性。而满足吃完n碗A，吃了i碗B的条件，必须最后一碗是吃A面条（因为结束投掷硬币是在A刚好吃完的时候），所以满足条件的情况总数为，前n-1个A和i个B的全排列，也就是n-i-1个位置选i个放置B，其余放置A，共c[n-i-1][i]种情况。

那么期望值为，所有情况的投掷硬币次数×概率之和，再乘以2。

到这里，可以说题目刚刚完成了一半。由于n的范围是1000，组合数c[n][i]和2的n次幂pow2[n]都会很大。是不是需要用大数呢？

分析最后的输出结果只要求保留两位小数，答案也不会超过2000。也就是说，我们尝试用double直接算，只要保证运算过程中不超出范围，最后输出的精度一定是足够的。

查了一下double的取值范围，大约是±1e308，大约是2的1024次方。

单看pow2[n+i]，n+i的取值是2000，这就已经超范围了。仔细观察，其实公式可以变形，将pow2[n]提到公式外面：

E = ( 2 / pow2[n] ) × ∑( ( c[n-i-1][i] / pow2[i] ) × ( n+i ) ) , (0<=i<n)

这样，公式外面和里面的pow2[]数组都在double范围内了。但是尝试了一下用杨辉三角的方式计算c[n][i]，到后面的时候还是超了……

和SHP折腾了半天，这里还可以优化一下。观察公式，由于c[x][i]对应的项一定会除以pow2[i]，那么就可以在计算c[x][i]的时候边算边除。也许就不会超范围了。

杨辉三角公式，c[n][i] = c[n-1][i] + c[n-1][i-1]。

现在新的c[n][i]保存的是c[n][i] / pow2[i]，变形公式：c[n][i] = c[n-1][i] + c[n-1][i-1] / 2。

为什么只在c[n-1][i-1]这项除2？因为按照新的定义方式，c[n-1][i]已经除过pow2[i]，c[n-1][i-1]已经除过pow2[i-1]，要使c[n][i]的分母是pow2[i]，只要在c[n-1][i-1]这一项除2即可。

到这里，题目基本上完美解决了（实际推导过程花了不少时间）……

现在用新定义的c[n][i]来描述最后的公式为：

E = ( 2 / pow2[n] ) × ∑( c[n-i-1][i] × ( n+i ) ) , (0<=i<n)