ACM-判素数

这篇文章我们将讨论如何求素数，所谓素数即只能被1和本身整除的数，那么毫无疑问，对于一个数n是不是素数，我们可以直接进行判断，即从2~n-1一一进行枚举，如果n都不能被整除，那么说明n就是素数。如果直接暴力判断，需要注意两点：

1、n不能太大

2、只需判断n的根号次

下面是判定素数的源代码：

#include <cmath>int IsPrime(int n){    for(int i=2; i<=sqrt(1.0*n); ++i)        if(n%i == 0)            return 0;    return 1;}

很明显，这样直接枚举判断的时间复杂度很高，下面就讲一种新的方法：筛法，如果用筛法构造素数，可以在很短的时间内算出10^6以内的所有素数，其复杂度为nlog(n)。筛法的原理简单来说就是删除倍数，即对于不超过n的每一个非负整数p，删除2p，3p，4p.，.....，这样处理完每一个p之后，剩下的没有被删除的就是素数，其实这也是素数定义的体现，即能被除了1和自身外的任何数整除的数都不是素数。下面是筛法的源代码：

#include <cmath>#include <cstring>const int MAXN = 1e6;int vis[MAXN+1];int prime[MAXN+1];void IsPrime(int n){    int i, j;    int m = sqrt(n+0.5);    memset(vis, 0, sizeof(vis));    memset(prime, 0, sizeof(prime));    for(i=2; i<=m; ++i) if(!vis[i])    {prime[i] = 1;  // 如果i为素数for(j=i*i; j<=n; j+=i)           vis[j] = 1;    }    for(; i<=n; ++i)    if(!vis[i]) prime[i] = 1;}

一般来说上面的算法已经足够快了，但不是最快，因为在存在重复筛数，比如对于2和4来说，都将8、12、16、......、筛除了。要保证不会重复筛除每一个数，即让算法保持线性，可以从奇偶性方面入手，下面是参考代码：

#include <cmath>#include <cstring>const int MAXN = 1e6;int prime[MAXN+1];void IsPrime(int n){    int i, j, k;    int half = n/2;    int sn = sqrt(n+0.5);    memset(prime, 0, sizeof(prime));    for (i = 0; i < half; i++)        prime[i] = 1;                      // 初始化全部奇数为素数。prime[0]对应3，即p[i]对应2*i+3    for (i = 0; i < sn; i++) if(prime[i])  // 如果 2*i+3 是素数    {        for(k=i+i+3,j=k*i+k+i; j<half; j+=k)        // 筛法起点是 p[i]所对应素数的平方 k^2        // k^2在 p 中的位置是 k*i+k+i        // 下标 i         k*i+k+i        // 对应数值 k=i+i+3   k^2        prime[j] = 0;    }    //prime[i]=1代表 2*i+3 是素数    //比如3是素数，按3*3,3*5,3*7...的次序筛选，因为只保存奇数，所以不用删3*4，3*6....}

这里给一道有关素数的题目，HDOJ：1262，时空转移（点击打开链接），题目如下：

寻找素数对

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 8227    Accepted Submission(s): 4110

Problem Description

哥德巴赫猜想大家都知道一点吧.我们现在不是想证明这个结论,而是想在程序语言内部能够表示的数集中,任意取出一个偶数,来寻找两个素数,使得其和等于该偶数.
做好了这件实事,就能说明这个猜想是成立的.
由于可以有不同的素数对来表示同一个偶数,所以专门要求所寻找的素数对是两个值最相近的.

 

Input

输入中是一些偶整数M(5<M<=10000).

 

Output

对于每个偶数,输出两个彼此最接近的素数,其和等于该偶数.

 

Sample Input

20 30 40

 

Sample Output

7 1313 1717 23

 

题意：

中文的，就不说了，注意答案求得是值最接近的两个素数。

分析：

数据的范围是10000，那么我们就可以先使用筛法判出10000以内的所有素数，然后从m/2开始枚举，保证两个素数的值最接近。

源代码：

#include <cstdio>#include <cmath>#include <cstring>const int MAXN = 1e6;int vis[MAXN+1];int prime[MAXN+1];void IsPrime(int n){    int i, j;    int m = sqrt(n+0.5);    memset(vis, 0, sizeof(vis));    memset(prime, 0, sizeof(prime));    for(i=2; i<=m; ++i) if(!vis[i])    {        prime[i] = 1;        for(j=i*i; j<=n; j+=i)           vis[j] = 1;    }    for(; i<=n; ++i)    if(!vis[i]) prime[i] = 1;}int main(){    int m;    IsPrime(10000);    while(~scanf("%d", &m))    {        int tmp = m/2;        while(tmp >= 2)        {            if(prime[tmp] && prime[m-tmp])            {                printf("%d %d\n", tmp, m-tmp);                break;            }            --tmp;        }    }    return 0;}

其他有关素数的题目还有，HDOJ：1431，2098。

接下来我们将讨论反素数，传送门（点击打开链接）。