嵌入式 KMP算法详解及各种应用和BF算法提及

KMP算法详解：
KMP算法之所以叫做KMP算法是因为这个算法是由三个人共同提出来的，就取三个人名字的首字母作为该算法的名字。其实KMP算法与BF算法的区别就在于KMP算法巧妙的消除了指针i的回溯问题，只需确定下次匹配j的位置即可，使得问题的复杂度由O(mn)下降到O(m+n)。
在KMP算法中，为了确定在匹配不成功时，下次匹配时j的位置，引入了next[]数组，next[j]的值表示P[0...j-1]中最长后缀的长度等于相同字符序列的前缀。
对于next[]数组的定义如下：
1) next[j]=-1  j=0
2) next[j]=max k:0<k<j P[0...k-1]=P[j-k,j-1]
3) next[j]=0  其他
如：
P      a    b   a    b   a
j       0   1    2   3   4
next -1  0    0   1   2
即next[j]=k>0时，表示P[0...k-1]=P[j-k,j-1]
因此KMP算法的思想就是：在匹配过程称，若发生不匹配的情况，如果next[j]>=0，则目标串的指针i不变，将模式串的指针j移动到next[j]的位置继续进行匹配；若next[j]=-1，则将i右移1位，并将j置0，继续进行比较。
代码实现如下：

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1. int KMPMatch(char *s,char *p)  
2. {  
3.     int next[100];  
4.     int i , j;  
5.     i = 0;  
6.     j = 0;  
7.     getNext(p , next);  
8.     while(i < strlen(s))  
9.     {  
10.         if(j == -1 || s[i] == p[j])  
11.         {  
12.             i++;  
13.             j++;  
14.         }  
15.         else  
16.         {  
17.             j = next[j];       //消除了指针i的回溯  
18.         }  
19.         if(j == strlen(p))  
20.             return i - strlen(p);  
21.     }  
22.     return -1;  
23. }  

因此KMP算法的关键在于求算next[]数组的值，即求算模式串每个位置处的最长后缀与前缀相同的长度， 而求算next[]数组的值有两种思路，第一种思路是用递推的思想去求算，还有一种就是直接去求解。
  1、按照递推的思想：
   根据定义next[0]=-1，假设next[j]=k, 即P[0...k-1]==P[j-k,j-1]
   1)若P[j]==P[k]，则有P[0..k]==P[j-k,j]，很显然，next[j+1]=next[j]+1=k+1;
   2)若P[j]!=P[k]，则可以把其看做模式匹配的问题，即匹配失败的时候，k值如何移动，显然k=next[k]。
   因此可以这样去实现：

[cpp] view plaincopy

1. void getNext(char *p,int *next)  
2. {  
3.     int j,k;  
4.     next[0] = -1;  
5.     j = 0;  
6.     k = -1;  
7.     while(j < strlen(p) - 1)  
8.     {  
9.         if(k == -1 || p[j] == p[k])    //匹配的情况下,p[j]==p[k]  
10.         {  
11.             j++;  
12.             k++;  
13.             next[j] = k;  
14.         }  
15.         else                   //p[j]!=p[k]  
16.             k = next[k];  
17.     }  
18. }  

   2、直接求解方法

[cpp] view plaincopy

1. void getNext(char *p,int *next)  
2. {  
3.     int i , j , temp;  
4.     for(i = 0 ; i < strlen(p) ; ++i)  
5.     {  
6.         if(i == 0)  
7.         {  
8.             next[i] = -1;     //next[0]=-1  
9.         }  
10.         else if(i == 1)  
11.         {  
12.             next[i] = 0;      //next[1]=0  
13.         }  
14.         else  
15.         {  
16.             temp = i - 1;  
17.             for(j = temp ; j > 0 ; --j)  
18.             {  
19.                 if( equals(p , i , j) )  
20.                 {  
21.                     next[i] = j;   //找到最大的k值  
22.                     break;  
23.                 }  
24.             }  
25.             if(j == 0)  
26.                 next[i] = 0;  
27.         }  
28.     }  
29. }  
30.    
31. bool equals(char *p,int i,int j)     //判断p[0...j-1]与p[i-j...i-1]是否相等   
32. {  
33.     int k = 0;  
34.     int s = i - j;  
35.     for( ; k <= j - 1 && s <= i - 1 ; k++ , s++)  
36.     {  
37.         if(p[k] != p[s])  
38.             return false;  
39.     }  
40.     return true;  
41. }  

http://poj.org/problem?id=2406

给定一个字符串，问最多是多少个相同子串不重叠连接构成。

KMP的next数组应用。这里主要是如何判断是否有这样的子串，和子串的个数。

若为abababa，显然除其本身外，没有子串满足条件。而分析其next数组，next[7] = 5，next[5] = 3，next[3] = 1，即str[2..7]可由ba子串连接构成，那怎么否定这样的情况呢？很简单，若该子串满足条件，则len%sublen必为0。sunlen可由上面的分析得到为len-next[len]。

因为子串是首尾相接，len/sublen即为substr的个数。

若L%(L-next[L])==0,n = L/(L-next[L]),else n = 1

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1. #include<iostream>  
2. #include<cstdio>  
3. using namespace std;  
4.   
5. char pattern[1000002];  
6. int next[1000002];  
7.   
8. /* 
9. kmp算法，需要首先求出模式串的next函数值 
10. next[j] = k,说明 p0pk-1 == pj-kpj-1,也就是说k为其前面相等串的长度 
11. */  
12. void get_nextval(const char* pattern)  
13. {  
14.     int i=0,j=-1;  
15.     next[0]= -1;  
16.     while(pattern[i] != '\0')  
17.     {  
18.         if(j== -1 || pattern[i]== pattern[j] )     //pattern[i]表示后缀的单个字符，pattern[j]表示前缀的单个字符  
19.         {  
20.             ++i;  
21.             ++j;  
22.             if(pattern[i] != pattern[j])  
23.                 next[i]=j;  
24.             else  
25.                 next[i]=next[j];  
26.         }  
27.         else  
28.             j=next[j];    //若j值不相同，则j值回溯  
29.     }  
30. }//get_nextval  
31.   
32. int main(void)  
33. {  
34.     int len;  
35.     while(scanf("%s",pattern)!=EOF)  
36.     {  
37.         if(pattern[0]=='.')  
38.             break;  
39.         len=strlen(pattern);  
40.   
41.         get_nextval(pattern);             
42.           
43.         if(len%(len-next[len])==0)  
44.             printf("%d\n",len/(len-next[len]));  
45.         else  
46.             printf("1\n");  
47.               
48.     }  
49.     return 0;  
50. }  

http://poj.org/problem?id=1961

大意：
   定义字符串A,若A最多由n个相同字串s连接而成，则A=s^n,如"aaa" = "a"^3,"abab" = "ab"^2
   "ababa" = "ababa"^1
   
给出一个字符串A，求该字符串的所有前缀中有多少个前缀SA= s^n（n>1）
输出符合条件的前缀长度及其对应的n

  如aaa
  前缀aa的长度为2,由2个'a'组成
  前缀aaa的长度为3，由3个"a"组成

  分析：KMP
  若某一长度L的前缀符合上诉条件，则
    1.next[L]!=0(next[L]=0时字串为原串，不符合条件)
 2.L%(L-next[L])==0（此时字串的长度为L/next[L]）

 对于2：有str[0]....str[next[L]-1]=str[L-next[L]-1]...str[L-1]
        =》str[L-next[L]-1] = str[L-next[L]-1+L-next[L]-1] = str[2*(L-next[L]-1)];
  假设S = L-next[L]-1;则有str[0]=str[s]=str[2*s]=str[3*s]...str[k*s],对于所有i%s==0,均有s[i]=s[0]
  同理，str[1]=str[s+1]=str[2*s+1]....
        str[j]=str[s+j]=str[2*s+j]....
  综上，若L%S==0,则可得L为str[0]...str[s-1]的相同字串组成，
  总长度为L,其中字串长度SL = s-0+1=L-next[L],循环次数为L/SL
   故对于所有大于1的前缀，只要其符合上述条件，即为答案之一

[cpp] view plaincopy

1. #include<iostream>  
2. #include<cstdio>  
3. #include<cstring>  
4. using namespace std;  
5.   
6. char pattern[1000002];  
7. int next[1000002];  
8.   
9. /* 
10. kmp算法，需要首先求出模式串的next函数值 
11. next[j] = k,说明 p0pk-1 == pj-kpj-1,也就是说k为其前面相等串的长度 
12. */  
13. void get_nextval(const char* pattern)  
14. {  
15.     int i=0,j=-1;  
16.     next[0]= -1;  
17.     while(pattern[i] != '\0')  
18.     {  
19.         if(j== -1 || pattern[i]== pattern[j] )  
20.         {  
21.             ++i;  
22.             ++j;  
23.             next[i]=j;  
24.         }  
25.         else  
26.             j=next[j];  
27.     }  
28. }//get_nextval  
29.   
30. int main(void)  
31. {  
32.     int i,len,n,j=1;  
33.     while(scanf("%d",&n)!=EOF)  
34.     {  
35.         if(!n)  
36.             break;  
37.         scanf("%s",pattern);  
38.         len=strlen(pattern);  
39.   
40.         get_nextval(pattern);  
41.       
42.         printf("Test case #%d\n",j++);  
43.         for(i=2;i<=len;i++)  
44.         {  
45.             if(i%(i-next[i])==0 && i/(i-next[i])>1)  
46.                 printf("%d %d\n",i,i/(i-next[i]));  
47.         }  
48.         printf("\n");  
49.               
50.     }  
51.     return 0;  
52. }  

http://poj.org/problem?id=2752
 大意：
给出一个字符串A,求A有多少个前缀同时也是后缀，从小到大输出这些前缀的长度。

分析：KMP
对于长度为len的字符串，由next的定义知：
A[0]A[1]...A[next[len]-1]=A[len-next[len]]...A[len-1]此时A[0]A[1]...A[next[len]-1]为一个符合条件的前缀
有A[0]A[1]....A[next[next[len]]-1] = A[len-next[next[len] - next[next[len]]]...A[next[len]-1],故A[0]A[1]....A[next[next[len]]-1]也是一个符合条件的前缀
故从len=>next[len]=>next[next[len]] ....=>直到某个next[]为0均为合法答案，注意当首位单词相同时，也为答案。

[cpp] view plaincopy

1. #include<iostream>  
2. #include<cstdio>  
3. #include<cstring>  
4. #include<vector>  
5. using namespace std;  
6.   
7. char pattern[400002];  
8. int next[400002];  
9.   
10. /* 
11. kmp算法，需要首先求出模式串的next函数值 
12. next[j] = k,说明 p0pk-1 == pj-kpj-1,也就是说k为其前面相等串的长度 
13. */  
14. void get_nextval(const char* pattern)  
15. {  
16.     int i=0,j=-1;  
17.     next[0]= -1;  
18.     while(pattern[i] != '\0')  
19.     {  
20.         if(j== -1 || pattern[i]== pattern[j] )  
21.         {  
22.             ++i;  
23.             ++j;  
24.             next[i]=j;  
25.         }  
26.         else  
27.             j=next[j];  
28.     }  
29. }//get_nextval  
30.   
31. int main(void)  
32. {  
33.     int i,len,n;  
34.     vector<int>ans;  
35.     while(scanf("%s",pattern)!=EOF)  
36.     {  
37.         ans.clear();  
38.         len=strlen(pattern);  
39.         get_nextval(pattern);  
40.         n=len;  
41.         while(n)  
42.         {  
43.             ans.push_back(n);  
44.             n=next[n];  
45.         }  
46.         if(pattern[0]==pattern[n-1])   //首部、尾部字符相同  
47.             ans.push_back(1);  
48.   
49.         i=ans.size()-1;  
50.         for(;i>0;i--)  
51.             printf("%d ",ans[i]);  
52.         printf("%d\n",ans[0]);  
53.     }  
54.     return 0;  
55. }  

在介绍KMP算法之前，先介绍一下BF算法。

一.BF算法

    BF算法是普通的模式匹配算法，BF算法的思想就是将目标串S的第一个字符与模式串P的第一个字符进行匹配，若相等，则继续比较S的第二个字符和P的第二个字符；若不相等，则比较S的第二个字符和P的第一个字符，依次比较下去，直到得出最后的匹配结果。

    举例说明：

    S:  ababcababa

    P:  ababa

　 BF算法匹配的步骤如下

           i=0                                   i=1                             i=2                         i=3                          i=4

  第一趟:ababcababa         第二趟:ababcababa      第三趟:ababcababa    第四趟:ababcababa    第五趟:ababcababa

             ababa                            ababa                          ababa                        ababa                       ababa

            j=0                                   j=1                            j=2                         j=3                         j=4(i和j回溯)

 

              i=1                                 i=2                           i=3                            i=4                        i=3

 第六趟:ababcababa         第七趟:ababcababa       第八趟:ababcababa     第九趟:ababcababa   第十趟:ababcababa

              ababa                              ababa                           ababa                        ababa                        ababa

             j=0                                  j=0                           j=1                           j=2(i和j回溯)            j=0

 

              i=4                                    i=5                          i=6                           i=7                          i=8

第十一趟:ababcababa       第十二趟:ababcababa    第十三趟:ababcababa   第十四趟:ababcababa   第十五趟:ababcababa

                     ababa                               ababa                           ababa                          ababa                          ababa

               j=0                                    j=0                         j=1                            j=2                         j=3

 

                    i=9

第十六趟:ababcababa

                       ababa

                    j=4(匹配成功)

代码实现:

int BFMatch(char *s,char *p){    int i,j;    i=0;    while(i<strlen(s))    {        j=0;        while(s[i]==p[j]&&j<strlen(p))        {            i++;            j++;        }        if(j==strlen(p))            return i-strlen(p);        i=i-j+1;                //指针i回溯    }    return -1;    }

 　 其实在上面的匹配过程中，有很多比较是多余的。在第五趟匹配失败的时候，在第六趟，i可以保持不变，j值为2。因为在前面匹配的过程中，对于串S，已知s0s1s2s3=p0p1p2p3，又因为p0!=p1!，所以第六趟的匹配是多余的。又由于p0==p2,p1==p3，所以第七趟和第八趟的匹配也是多余的。在KMP算法中就省略了这些多余的匹配。

二.KMP算法

    KMP算法之所以叫做KMP算法是因为这个算法是由三个人共同提出来的，就取三个人名字的首字母作为该算法的名字。其实KMP算法与BF算法的区别就在于KMP算法巧妙的消除了指针i的回溯问题，只需确定下次匹配j的位置即可，使得问题的复杂度由O(mn)下降到O(m+n)。

　 在KMP算法中，为了确定在匹配不成功时，下次匹配时j的位置，引入了next[]数组，next[j]的值表示P[0...j-1]中最长后缀的长度等于相同字符序列的前缀。

　 对于next[]数组的定义如下：

　1) next[j] = -1  j = 0

　2) next[j] = max(k): 0<k<j   P[0...k-1]=P[j-k,j-1]

　3) next[j] = 0  其他

　如：

　P      a    b   a    b   a

　j      0    1   2    3   4

 next    -1   0   0    1   2

　即next[j]=k>0时，表示P[0...k-1]=P[j-k,j-1]

　因此KMP算法的思想就是：在匹配过程称，若发生不匹配的情况，如果next[j]>=0，则目标串的指针i不变，将模式串的指针j移动到next[j]的位置继续进行匹配；若next[j]=-1，则将i右移1位，并将j置0，继续进行比较。

代码实现如下：

int KMPMatch(char *s,char *p){    int next[100];    int i,j;    i=0;    j=0;    getNext(p,next);    while(i<strlen(s))    {        if(j==-1||s[i]==p[j])        {            i++;            j++;        }        else        {            j=next[j];       //消除了指针i的回溯        }        if(j==strlen(p))            return i-strlen(p);    }    return -1;}

　　因此KMP算法的关键在于求算next[]数组的值，即求算模式串每个位置处的最长后缀与前缀相同的长度， 而求算next[]数组的值有两种思路，第一种思路是用递推的思想去求算，还有一种就是直接去求解。 

1.按照递推的思想：

   根据定义next[0]=-1，假设next[j]=k, 即P[0...k-1]==P[j-k,j-1]

   1)若P[j]==P[k]，则有P[0..k]==P[j-k,j]，很显然，next[j+1]=next[j]+1=k+1;

   2)若P[j]!=P[k]，则可以把其看做模式匹配的问题，即匹配失败的时候，k值如何移动，显然k=next[k]。

   因此可以这样去实现：

void getNext(char *p,int *next){    int j,k;    next[0]=-1;    j=0;    k=-1;    while(j<strlen(p)-1)    {        if(k==-1||p[j]==p[k])    //匹配的情况下,p[j]==p[k]        {            j++;            k++;            next[j]=k;        }        else                   //p[j]!=p[k]            k=next[k];    }}

 

   2.直接求解方法

void getNext(char *p,int *next){    int i,j,temp;    for(i=0;i<strlen(p);i++)    {        if(i==0)        {            next[i]=-1;     //next[0]=-1        }        else if(i==1)         {            next[i]=0;      //next[1]=0        }        else        {            temp=i-1;            for(j=temp;j>0;j--)            {                if(equals(p,i,j))                {                    next[i]=j;   //找到最大的k值                    break;                }            }            if(j==0)                next[i]=0;        }    }}bool equals(char *p,int i,int j)     //判断p[0...j-1]与p[i-j...i-1]是否相等  {    int k=0;    int s=i-j;    for(;k<=j-1&&s<=i-1;k++,s++)    {        if(p[k]!=p[s])            return false;    }    return true;}