计算概论A-1-从数学危机到图灵机-学习笔记

从数学危机到图灵机

一. 数学危机

1. 第一次数学危机：

    背景：数是万物的本源，“一切数均可表达成整数或整数之比”。

    危机：“某些直角三角形的三边不能够用整数来表达”。

    解决：实数理论建立。

2. 第二次数学危机：

    背景：牛顿与莱布尼茨各自独立发现微积分，都是建立无穷小的分析上。

    危机：微积分中无穷小一会是零，一会不是零。

    解决：集合论诞生。

3. 第三次数学危机：

    背景：集合论，“一切数学成果可建立在集合论基础上”。

    危机：罗素悖论，“S由一切不是自身元素的集合组成，S是否属于S？”。

    结论：不完备性定理：任何一个数学系统，只要它是从有限的公理和基本概念中推导出来，并且能够从中推证出自然数系统，就可以在其中找到一个命题，

                                            对于它我们既没有办法证明，也没有办法推翻。把数学彻底形式化的愿望是不可能实现的。

二. 接下来问题——可计算问题

那么，什么才是可计算问题?

----为计算建立一个数学模型，称为计算模型，然后证明，凡是这个计算模型能够完成的任务，就是可计算任务。

伟大的阿兰·麦席森·图灵（Orz）提出了其中一个数学模型，名为图灵机。

三. 图灵机——计算中数的表示

背景：计算字母表中，如果符号越多，读写头读入移动次数减少，但程序大。

                                        如果符号越少，程序小，但读写头读入移动次数增加。

发展：有人提出，字母表最优数量，可能是e（欧拉常数），取整为3。但是，与具有两个状态的电子元件相比，具有三个状态的电子元件在制造上更困难，可靠性低。

结论：所以人们采用两个状态的电子原件——采用二进制表示计算中的数。

四. 如何计算

布尔代数中的逻辑运算完成了二进制的计算，而物理电路能够实现布尔代数的逻辑运算。

故，电路是能够用来计算的，计算机是能够用来计算的。

以上笔记综合了“计算概论A”课程内容及网络内容（百度百科及相关图片）