组合算法 C++高效实现 (二进制辅助法)

来源：互联网发布：淘宝怎么注册卖家账户编辑：程序博客网时间：2024/05/01 20:41

三

组合算法 C++高效实现 (二进制辅助法)

目录 [隐藏]

1.什么是数学中的组合？ http://www.waitingfy.com/archives/1016
2.在计算机中如何高效的实现排列算法？
3.如何求所有的组合呢？

1.什么是数学中的组合？

和排列不同的是，在组合中取出元素的顺序则不在考虑之中。从n个元素中取出k个元素，这k个元素可能出现的组合数的总数量为：

以1,2,3,4,5中选2个数为例，总共的组合为：

1,2

1,3

1,4

1,5

2,3

2,4

2,5

3,4

3,5

4,5

2.在计算机中如何高效的实现排列算法？

乍一看，这个问题并不简单。有递归的实现方式，效率较低，还比较难，先不考虑。我们注意到一种以二进制的思想的实现方式，比较高效，来讲讲它。

首先还是需要讲下上次的排列算法中比较高效的实现方式，就是把1,2,3的全排列，换算成求一个三位数，由1,2,3组成，从小到大所有的可能性。

123 < 132 < 213 < 231 < 312 < 321

我们还是以1,2,3,4,5中选2个数为例。

我们这次的排列非常的像，我们用一个五个数的数组表示一个5位数的二进制数字，(其中1表示选中该数字，0则不是)这样用一个二进制数来表示一个排列。如果这个二进制遍历所有的可能性(0~31)，且只有两个1组成的话，就是一个我们想要的排列结果。这里我们换成十进制从左往右换算，发现刚好是从小到大。

1,2 (1,1,0,0,0) — 3(十进制)

1,3 (1,0,1,0,0) — 5

2,3 (0,1,1,0,0) — 6

1,4 (1,0,0,1,0) — 9

2,4 (0,1,0,1,0) — 10

3,4 (0,0,1,1,0) — 12

1,5 (1,0,0,0,1) — 17

2,5 (0,1,0,0,1) — 18

3,5 (0,0,1,0,1) — 20

4,5 (0,0,0,1,1) — 24

如何用代码实现呢？

需要用以下策略：

1.m 选 n，初始化m个数，它们都是0，前n个都变成1，表示最小的二进制。

2.如何找到下一个较大的数呢？因为我们这里的二进制是从左往右，所以，当发现一个1,0时，我们把它改成0,1的时候，这个数就变大了！

3.根据策略2的话(0,1,1,0,0)–6下一个二进制数应该是(0,1,0,1,0)–10，但是比(0,1,1,0,0)要大的下一个数应该是(1,0,0,1,0)–9。所以

我们要把1,0换成0,1的时候，还要把0,1中0的前面所有1都移到最前面，这样才是最小的数，大家理解下这句。因为我们的二进制是从左往右的。

代码如下，非常简短。

?
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
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23
24
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28
29
30
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35
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37
38
39
40
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48
49
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57
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62
// MyCombination.cpp : Defines the entry point for the console application.
// 
  
#include "stdafx.h"
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
  
usingnamespacestd; 
  
voidprintResult(vector<int>& vecInt,intt[]){ 
    for(inti = 0; i < vecInt.size(); ++i){
        if(vecInt[i] == 1){
            cout << t[i] <<" ";
        }
    }
    cout << endl;
} 
  
boolcompare(inta, int b){ 
    if(a > b){
        returntrue;
    }else{
        returnfalse;
    }
} 
  
voidcombination(intt[],int c, int total){
    //initial first combination like:1,1,0,0,0
    vector<int> vecInt(total,0);
    for(inti = 0; i < c; ++i){
        vecInt[i] = 1;
    }
  
    printResult(vecInt, t);
  
    for(inti = 0; i < total - 1; ++i){
        if(vecInt[i] == 1 && vecInt[i+1] == 0){
            //1. first exchange 1 and 0 to 0 1
            swap(vecInt[i], vecInt[i+1]);
  
            //2.move all 1 before vecInt[i] to left
            sort(vecInt.begin(),vecInt.begin() + i, compare);
  
            //after step 1 and 2, a new combination is exist
            printResult(vecInt, t);
  
            //try do step 1 and 2 from front
            i = -1;
        }
    }
  
} 
  
int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{ 
    constintN = 5;  
    intt[N] = {1, 2, 3, 4, 5};
    combination(t, 2, N);
    system("pause");
    return0;
}

3.如何求所有的组合呢？

如果你理解了上面的东西，我们再来思考一个简单的问题，如何求1,2,3 的所有组合结果：

别害怕，这个问题比上面的还要简单，也是二进制的思想，我们用一个3位的二进制来表示一个结果，刚好是从0~7

{} 000

1 001

2 010

1,2 011

3 100

2,3 110

1,2,3 111

代码如下(位运算不懂的话，看这篇文章《来谈谈C++ 位运算 & | << >> ^ ~ %》)：

?
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
// MyCombination.cpp : Defines the entry point for the console application.
// 
  
#include "stdafx.h"
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
  
usingnamespacestd; 
  
voidprintEachResult(intt[],int index, int total){
  
    for(inti = 0; i < total; ++i){
        if((index>>i)&1 == 1){
            cout << t[i] <<" ";
        }
    }
    cout << endl;
} 
  
voidcombination(intt[],intcount){ 
    for(inti = 0; i < (1<<count); ++i){
        printEachResult(t, i, count);
    }
} 
  
int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{ 
    constintN = 3;  
    intt[N] = {1, 2, 3};
    combination(t,N);
    system("pause");
    return0;
}

http://www.waitingfy.com/archives/1016

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