统计二进制中1的个数

题目：统计一个无符号数中的二进制表示中1的个数。

此算法名为平行计算法。基本思想如下：

先两两（两个二进制位）分组统计每组出现的1的个数，而每组1的个数只可能是0个（00），1个（01）或2个（10），由（相加所得的）两位的二进制完全可以表示每组（两个二进制数）中1的个数；接着四四（4个二进制位）的分组，每组内有两个分别用两位二进制数表示的数字，而这些两位二进制数字又是上一步得来的表示1的个数的，因此在每组内把每两位二进制数当作一个整体的数字来相加，就可以看出四四分组的每四个二进制里面有多少个1；以此类推......

下面这张图很直观（来源于网络）

但是图片不足以说明我们求解的逻辑过程：例a=1001011101111101（16-bits）

1.两两分组，求每组的1的个数

   1 0 0 1 0 1 1 0=01 00 00 0100 01 01 00

+ 0 1 1 1 1 1 1 1=00 01 01 01 01 01 01 01

——————————————————————

   1 1 1 21 2 2 1=01 01 01 10 01 10 10 01

注意：上下两个二进制数才是一组，这样才能实现组内相加， 相加的结果用两位二进制来表示。

那么怎样用语言来实现呢？

肯定是两个二进制数相加来表示的，下面那个只留了8-bits的偶数位，只需把其与0101010101010101相与即可，即1001011101111101&0101010101010101（0x5555）=0001010101010101（01111111），另一个是只留了奇数位，1001011101111101&1010101010101010（0xAAAA）=1000001000101000,得到的这个位模式不能与上面的那个偶数位直接相加（那不等于原来的数了么），因为它是向右偏移了一位的（实质上对于原数而言，应该是第1位与第0位相加，第3位与第2位相加...第15位与第14位相加），很显然，把我们得到的结果右移1位变为0100000100010100即可。

综上，两两分组组内相加的最终表示就是(a&0x5555)+((a&0xAAAA)>>1)；

2.四四分组，组内相加，求1的个数（原数变为0101 0110 0110 1001）

    01 10 1001=0001 0010 0010 0001

+ 01 01 01 10=0001 0001 0001 0010

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    10 11 1111=0010 0011 0011 0011

怎样由0101 0110 0110 1001变为0001 0010 00100001（只保留每组的低两位），原数与0x3333相与即可，

怎样由0101 0110 0110 1001变为0001 0001 00010010（只保留每组的高两位），原数与0xCCCC相与是不够的，同样存在1中的问题，把相与的结果右移两位即可.

3.......

 

其实，问题的核心在于如何把每组的高位和低位剥离，实现组内相加，总结起来就一句话，用的着的位用1相与保留，不用的与0相与置0，组内的空位（在高位）用0补齐（16位），最后，不要忘了移位！

 

参考资料：http://everything2.com/title/Counting+1+bits

                http://blog.csdn.net/morewindows/article/details/7354571