关于比特为1的计数算法

问题描述：

        给定一个32（2^n）比特的整数，用一个算法计算出其中包含的1的个数。

问题分析：

      对于该问题，最容易想到的算法就是穷举算法，对该整数的每个比特进行扫描计数，对于一个包含n比特的整数，该算法的时间复杂度为O(n),空间复杂度为O(1)。

算法如下（C语言）：

int  count(unsigned int i)

{

    int count = 0;

    for(int j=0;j<32;j++)

   {

       if((i>>j) & 1)

            count++;

   }

  return count;

}

 

算法解析：

        该算法在最好和最坏情况下的复杂度一样，都为O(n), n为比特数。

 

第二种方法：

     对于第二种方法，其最坏复杂度和第一种一样，但最好的情况下为O(1),平均复杂度仅为第一种的一半。

算法（C语言）：

   int count(unsigned int i)

  {

     int count = 0;

     while(i)

    {

     count++;

    i = i & (i-1);

     }

  }

 该算法仅对比特为1的进行计数，每次循环计算一个比特为1的位，该算法的时间复杂度还是O(n),但是效率比之第一种算法平均要快上一倍。

第三种算法：

 这种算法的时间复杂度为O(logN)，还是先给出算法的描述，然后再进行分析。

算法（C语言）：

 int count(unsigned int i)

{

    i = (i & 0x55555555UL) +(( i>>1) & 0x55555555UL);

    i = (i & 0x33333333UL) + ((i>>2) & 0x33333333UL);

    i = (i & 0x0F0F0F0FUL) + ((i>>4) & 0x0F0F0F0FUL);

   i = (i & 0x00FF00FFUL) + ((i>>8) & 0x00FF00FFUL);

   i = (i & 0x0000FFFFUL) + (i >>16) & 0x0000FFFFUL);

  return i;  

}

算法分析：

 该算法首先将32比特的整数分成16组，每两个相邻的比特分为一组，分组计算每组的比特为1的数量，

对于一个整数如：xyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxy,b分为两部分后，第一部分为i & 0x55555555UL，

第二部分为：(( i>>1) & 0x55555555UL)，由于0X55555555UL的二进制为01010101010101010101010101010101b, 这样，用i与之进行与操作之后，相当于只是取了奇数部分的比特，结果为0y0y0y0y0y0y0y0y0y0y0y0y0y0y0y0yb,

而第二部分则先进行一个比特的移位之后，再进行一个与操作，结果为0x0x0x0x0x0x0x0x0x0x0x0x0x0x0x0xb,

(x和y为0或者1)，然后把这两部分的结果相加，可以看出，0x + oy结果可能为00,01,10,  而这两比特中所保存的结果就是在原来的整数中xy部分的比特为1的个数。（如果1为1，y为0，则只有一个1比特，此时结果为01，同样，若x，y均为1，则结果为10，也是表示只有2个比特为1，其它为0或者1的情况同样成立），这样在结果i中保存16组(每组2比特)的1的个数，然后再将这个16组分成8组，每组四比特（即前面的2个2比特），将4比特中的前2比特进行移位与后两比特对齐，再进行相加，此时在结果4比特中的保存的就是这原来4比特中1的个数（因为前面的结果中每组2比特中最大为10，这样相加后，最大值为0100，表示的还是这4个比特中为1的个数，而且不会向前部分产生进位），然后再放大到8比特组，最后到16比特组，得到的结果就是该整数中比特为1的个数。