两个有序数组找第k大的数

问题描述：

两个数组长度分别为m,n的有序数组，从这两个数组中找出第k大的数

解析：

O(m + n) 的解法比较直观，直接merge 两个数组，然后求第k 大的元素。不过我们仅仅需要第k 大的元素，是不需要“排序”这么复杂的操作的。可以用一个计数器，记录当前已经找到第m 大的元素了。同时我们使用两个指针pA 和pB，分别指向A 和B 数组的第一个元素，使用类似于merge sort 的原理，如果数组A 当前元素小，那么pA++，同时m++；如果
数组B 当前元素小，那么pB++，同时m++。最终当m 等于k 的时候，就得到了我们的答案，O(k)时间，O(1) 空间。但是，当k 很接近m + n 的时候，这个方法还是O(m + n) 的。
有没有更好的方案呢？我们可以考虑从k 入手。如果我们每次都能够删除一个一定在第k 大元素之前的元素，那么我们需要进行k 次。但是如果每次我们都删除一半呢？由于A 和B 都是有序的，我们应该充分利用这里面的信息，类似于二分查找，也是充分利用了“有序”。假设A 和B 的元素个数都大于k/2，我们将A 的第k/2 个元素（即A[k/2-1]）和B 的第k/2
个元素（即B[k/2-1]）进行比较，有以下三种情况（为了简化这里先假设k 为偶数，所得到的结
论对于k 是奇数也是成立的）：
• A[k/2-1] == B[k/2-1]
• A[k/2-1] > B[k/2-1]
• A[k/2-1] < B[k/2-1]
如果A[k/2-1] < B[k/2-1]，意味着A[0] 到A[k/2-1 的肯定在A [ B 的top k 元素的范围
内，换句话说，A[k/2-1 不可能大于A [ B 的第k 大元素。留给读者证明。
因此，我们可以放心的删除A 数组的这k/2 个元素。同理，当A[k/2-1] > B[k/2-1] 时，可
以删除B 数组的k/2 个元素。
当A[k/2-1] == B[k/2-1] 时，说明找到了第k 大的元素，直接返回A[k/2-1] 或B[k/2-1]
即可。
因此，我们可以写一个递归函数。那么函数什么时候应该终止呢？
• 当A 或B 是空时，直接返回B[k-1] 或A[k-1]；
• 当k=1 是，返回min(A[0], B[0])；
• 当A[k/2-1] == B[k/2-1] 时，返回A[k/2-1] 或B[k/2-1]

static int find_kth(int A[], int m, int B[], int n, int k) {

if (m > n) return find_kth(B, n, A, m, k);

if (m == 0) return B[k - 1];

if (k == 1) return min(A[0], B[0]);
int ia = min(k / 2, m), ib = k - ia;
if (A[ia - 1] < B[ib - 1])
return find_kth(A + ia, m - ia, B, n, k - ia);
else if (A[ia - 1] > B[ib - 1])
return find_kth(A, m, B + ib, n - ib, k - ib);
else
return A[ia - 1];
}
};