HDU 2588 GCD && GCD问题总结

来源：互联网发布：linux more 上一页编辑：程序博客网时间：2024/05/22 09:41

GCD(一)

题目：

The greatest common divisor GCD(a,b) of two positive integers a and b,sometimes written (a,b),is the largest divisor common to a and b,For example,(1,2)=1,(12,18)=6.
(a,b) can be easily found by the Euclidean algorithm. Now Carp is considering a little more difficult problem:
Given integers N and M, how many integer X satisfies 1<=X<=N and (X,N)>=M.

求满足题目要求的x个数。

算法：

直接筛选会超时，根据题目给出的不等式特点GCD(x,N) >= M 可以知道满足题目要求的一定是N的因子而且必须大于等于M（想想为什么？解体关键）。所以，只要枚举N的大于等于M的因子就可以了。因为，在10^9内最多的因子数不超过30个。所以，总时间是O(30*loglogn)接近常数。

#include <iostream>#include <algorithm>#include <cstdio>#include <cstring>#include <cmath>using namespace std;typedef __int64 LL;const int MOD = 1000000007;int euler_phi(int n){    int k = (int)sqrt(n + 0.5);    int ans = n;    for(int i = 2;i <= k;++i) if(0 == n % i){        ans = ans / i * (i - 1);        while(0 == n % i) n /= i;    }    if(n > 1) ans = ans / n * (n - 1);    return ans;}LL getFact(int n,int m){    LL res = 0;    int k = sqrt(n + 0.5);    int tmp;    for(int i = 1;i <= k;++i){        if(0 == n % i){            tmp = n / i;            if(i >= m) res += euler_phi(n / i);            if(tmp >= m && i != tmp) res += euler_phi(n / tmp);        }    }    return res;}int main(){    int T,n,m;    scanf("%d",&T);    while(T--){        scanf("%d%d",&n,&m);        if(n == 1 && m == 1){            puts("1");            continue;        }        printf("%I64d\n",getFact(n,m));    }    return 0;}

GCD(二)

题目：

给你一个数N,使得在1~N之间能够找到x使得x满足gcd（ x , N ） >= M，求解gcd(x,N)的和。

算法：

由上题的知识可以知道，1...N的互质个数为欧拉函数值且其gcd只能是N的因子。所以，对于N = x * y。我们只要

求出x在y内的互质个数就好了，结果乘以x就是gcd = x的和了.

证明：

SUM(gcd = x ) = 1*x + 2*x + 3*x ..... y*x

所以，当gcd = x的时候只要求出y的欧拉函数值就好了。

而一个数的因子又可以在sqrt(N)内求出。

#include <iostream>#include <algorithm>#include <cstdio>#include <cstring>#include <cmath>using namespace std;typedef long long LL;int euler_phi(int n){    int m = sqrt(n + 0.5);    int ans = n;    for(int i = 2;i <= m;++i) if(0 == n % i){        ans = ans / i * (i - 1);        while(0 == n % i) n /= i;    }    if(n > 1) ans = ans / n * (n - 1);    return ans;}LL solve(int n,int m){   LL res = 0;   int k = sqrt(n + 0.5);   for(int i = 1;i <= k;++i){       if(0 == n % i){           if(i >= m)              res += i * euler_phi(n / i);           if(i != n / i && n / i >= m)              res += n / i * euler_phi(i);       }   }   return res;}int main(){    int n,m;    while(~scanf("%d%d",&n,&m)){        printf("%lld\n",solve(n,m));    }    return 0;}

GCD(三)

题目：

The greatest common divisor GCD(a,b) of two positive integers a and b,sometimes written (a,b),is the largest divisor common to a and b,For example,(1,2)=1,(12,18)=6.
(a,b) can be easily found by the Euclidean algorithm. Now Carp is considering a little more difficult problem:
Given integers N and M,please answer sum of X satisfies 1<=X<=N and (X,N)>=M.

算法：

跟GCD(一)不同的是这题求得是满足gcd(x,n) >= m ，x的和。而由欧拉函数中的一个定理可以知道

所以，只要SUM(n = x * y) = y*α(y) / 2 * x

因为要的是x的和，而我们是在把X先进行X / x处理的所以最后要在乘回上x得到原值。

 #include <iostream>#include <algorithm>#include <cstdio>#include <cstring>#include <cmath>using namespace std;typedef long long LL;const int MOD = 1000000007;int euler_phi(int n){    int k = (int)sqrt(n + 0.5);    int ans = n;    for(int i = 2;i <= k;++i) if(0 == n % i){        ans = ans / i * (i - 1);        while(0 == n % i) n /= i;    }    if(n > 1) ans = ans / n * (n - 1);    return ans;}LL getFact(int n,int m){    LL res = 0;    int k = sqrt(n + 0.5);    LL tmp;    for(int i = 1;i <= k;++i){        if(0 == n % i){            tmp = n / i;            if(i >= m){                LL t1 = tmp * euler_phi(tmp) / 2 % MOD;                t1 = t1 ? t1 : 1;                res = (res + t1 * i) % MOD;            }            if(tmp >= m && i != tmp) {                LL t1 = i * euler_phi(i) / 2 % MOD;                t1 = t1 ? t1 : 1;                res = (res + t1 * tmp) % MOD;            }        }    }    return res >= MOD ? res%MOD : res;}int main(){    int T,n,m;    scanf("%d",&T);    while(T--){        scanf("%d%d",&n,&m);        printf("%lld\n",getFact(n,m));    }    return 0;}

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