中国剩余定理

对于中国剩余定理有个简单理解并记忆的方法：

中国剩余定理的思想在于先找到一个满足条件的数，不管是不是最小的，如果不是最小的就不断减公倍数，中国剩余定理的巧妙在于把满足条件的数分成三个部分相加，例如：
假设满足条件的数为：M=3*5*a+5*7*b+3*7*c
先让它满足条件1：除以3余1，我们看M的第一部分和第三部分能被3整除，只要第二部分除以3余1就行了，选择b=2就满足
再满足条件2：除以5余2，考虑第三部分就行了，选择c=2就满足
最后满足条件3：除以7余3，考虑第一部分就行了，选择a=3
这样M=3*5*3+5*7*2+3*7*2=157，比公倍数大，减去公倍数，157-105=52是满足条件最小数

 

以我个人理解写成下面这个形式（以3个数为例）

X被a,b,c处分别余r1,r2,r3。表示为：

X%a = r1                     x%b = r2                     x%c = r3

bc*k1 % a = 1     ac*k3 % b = 1     ab*k3 % c = 1

所以

x = bc * k1 * r1 + ac * k2 * r2 + ab * k3 * r3

下面以一道poj的题来详细说明中国剩余定理

poj1006     

题目中涉及 3， 5，7三个互质的数、

令：5 * 7 * a % 3 = 1;  --------------> a = 2; 即5 * 7 * 2 = 70；

        3 * 7 * b % 5 = 1;  --------------> b = 1; 即3 * 7 * 1 = 21；

        3 * 5 * c % 7 = 1;  --------------> c  = 1; 即3 * 5 * 1 = 15；

为什么要使余数为1：是为了要求余数2的话，只要乘以2就可以，要求余数为3的话，只要乘以3就可以！

( 因为题目想要n % 3 =2, n % 5 = 3, n % 7 =2; )

那么：要使得n % 3 = 2，那么（ 5 * 7 * 2 ）*2  % 3 = 2；( 因为5 * 7 * 2 % 3 = 1 )

同理： 要使得n % 5 = 3，那么（ 3 * 7 * 1 ）*3  % 5 = 3；( 因为3 * 7 * 1 % 5 = 1 )

同理：要使得n % 7 = 2，那么（ 3 * 5 * 1 ）* 2  % 7 = 2；( 因为3 * 5 * 1 % 7 = 1 )

那么现在将（ 5 * 7 * 2 ）* 2和（ 3 * 7 * 1 ）* 3和（ 3 * 5 * 1 ）* 2相加会怎么样呢？我们知道

（ 5 * 7 * 2 ）* 2可以被5和7整除，但是%3等于2

（ 3 * 7 * 1 ）* 3可以被3和7整除，但是%5等于3

（ 3 * 5 * 1 ）* 2可以被3和5整除，但是%7等于2

那么即使相加后，%3， 5， 7的情况也还是一样的！

那么就得到一个我们暂时需要的数（ 5 * 7 * 2 ）* 2 +（ 3 * 7 * 1 ）* 3 +（ 3 * 5 * 1 ）* 2 = 233

但不是最小的!所有我们还要 233 % ( 3 * 5 * 7 ) == 23  得解！

 

应用到这题上面，

x % 23 == p； x % 28 == e； x % 33 == i；求x

按照以上算法：

使 33 * 28 * a % 23 = 1，得a = 6； 33 * 28 * 6 = 5544；

使23 * 33 * b % 28 = 1， 得b = 19；23 * 33 * 19 = 14421；
使23 * 28 * c % 33 = 1， 得c = 2；  23 * 28 * 2 = 1288。

那么x  =  5544 * p + 14421 * e + 1288 * i

那么x-d即相差的时间天数！

因为有范围限制，那么(x-d) %= 21252；且如果此时<=0，那么(x-d)  += 21252   ，以上都只是为了保证在范围内而已~

十行的代码实在萌萌哒、

#include <iostream>#include <cstdio>using namespace std;int p, e, i, d, cnt;int main(){    while(scanf("%d%d%d%d", &p, &e, &i, &d) && p != -1){        int ans = (5544 * p + 14421 * e + 1288 * i - d) % 21252;        if(ans <= 0)ans += 21252;        printf("Case %d: the next triple peak occurs in %d days.\n", ++ cnt, ans);    }    return 0;}

好了， 那么如果是不互质的 线性同余方程组该怎么求呢？

假设C ≡ A₁ (mod B₁)，C ≡ A₂ (mod B₂)。令C = A + XB，那么X₁B₁ ≡ A₂ − A₁ (mod B₂)。用扩展欧几里德算法求出X₁，也就求出C。令B = lcm(B₁, B₂)，那么上面两条方程就可以被C’ ≡ C (mod B)代替。迭代直到只剩下一条方程。

例题 poj 2891， 和昨天做的一道珠子匹配的题

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <cstring>using namespace std;__int64 x, y, t;__int64 egcd(__int64 a, __int64 b){    if (b == 0)    {        x = 1;        y = 0;        return a;    }    else    {        __int64 e = egcd(b, a % b);        t = x; x = y; y = t - a / b * y;        return e;    }}int main(){    //freopen("in.txt", "r", stdin);    __int64 m1, m2, r1, r2, d, c, t;    bool sb;    int n;    while (cin >> n)    {        sb = 0;        cin >> m1 >> r1;        for (int i = 0; i < n - 1; i++)        {            cin >> m2 >> r2;            if (sb) continue;            d = egcd(m1, m2);            c = r2 - r1;            if (c % d)            {                sb = 1;                continue;            }            t = m2 / d;            x = (c / d * x % t + t) % t;             r1 = m1 * x + r1;            m1 = m1 * m2 / d;        }        if (sb)            cout << -1 << endl;        else            cout << r1 << endl;    } }