FIR滤波器

FIR(Finite Impulse Response)滤波器：有限长单位冲激响应滤波器，又称为非递归型滤波器，是数字信号处理系统中最基本的元件，它可以在保证任意幅频特性的同时具有严格的线性相频特性，同时其单位抽样响应是有限长的，因而滤波器是稳定的系统。因此，FIR滤波器在通信、图像处理、模式识别等领域都有着广泛的应用。

IIR数字滤波器与FIR数字滤波器的区别

1、单位响应

IIR数字滤波器单位响应为无限脉冲序列，而FIR数字滤波器单位响应为有限的；

FIR滤波器，也就是“非递归滤波器”，没有引入反馈。这种滤波器的脉冲响应是有限的。

2、幅频特性

IIR数字滤波器幅频特性精度很高，不是线性相位的，可以应用于对相位信息不敏感的音频信号上；FIR数字滤波器的幅频特性精度较之于IIR数字滤波器低，但是线性相位，就是不同频率分量的信号经过fir滤波器后他们的时间差不变，这是很好的性质。

3、实时信号处理

FIR数字滤波器是有限的单位响应也有利于对数字信号的处理，便于编程，用于计算的时延也小，这对实时的信号处理很重要。

有限长单位冲激响应（FIR）滤波器有以下特点：

(1) 系统的单位冲激响应h (n)在有限个n值处不为零

(2) 系统函数H(z)在|z|>0处收敛，极点全部在z = 0处（因果系统）

(3) 结构上主要是非递归结构，没有输出到输入的反馈，但有些结构中（例如频率抽样结构）也包含有反馈的递归部分。

设FIR滤波器的单位冲激响应h (n)为一个N点序列，0 ≤ n ≤N —1，则滤波器的系统函数为

H(z)=∑h(n)*z^-n

就是说，它有（N—1）阶极点在z = 0处，有（N—1）个零点位于有限z平面的任何位置。

FIR滤波器有以下几种基本结构：

横截型

（7.10）式的系统的差分方程表达式为

y(n)=∑h(m)x(n-m)　( 7.11）

很明显，这就是线性移不变系统的卷积和公式，也是x (n)的延时链的横向结构，如图4-11所示，称为横截型结构或卷积型结构，也可称为直接型结构。将转置定理用于图4-11，可得到图4-12的转置直接型结构。

图7.11 FIR滤波器的横截型结构

级联型

将H (z)分解成实系数二阶因子的乘积形式

（7.12）

其中[N/2]表示取N/2的整数部分。若N为偶数，则N—1为奇数，故系数B2K中有一个为零，这是因为，这时有奇数个根，其中复数根成共轭对必为偶数，必然有奇数个实根。图7-13画出N为奇数时，FIR滤波器的级联结构，其中每一个二阶因子用图4-11的横型结构。

这种结构的每一节控制一对零点，因而再需要控制传输零点时，可以采用它。但是这种结构所需要的系数B2k（I = 0，1，2，k，= 1，2，．．．，[N/2]）比卷积型的系数h (n)要多，因而所需的乘法次数也比卷积型的要多。

图9.13 FIR滤波器的级联型结构

频率抽样

在第三章中已说过，把一个有限长序列（长度为N点）的z变换H (z)在单位圆上作N等分抽样，就得到H (k)，其主值序列就等于h (n)的离散傅里叶变换H (k)。那里也说到用H (k)表示的H (z)的内插公式为

（7.13）

这个公式就为FIR滤波器提供了另外一种结构，这种结构由两部分级联组成。

（7.14）

其中级联的第一部分为

(7.15）

这是一个FIR子系统，是由N节延时单元构成的梳状滤波器，令

则有

即Hc (z)在单位圆上有N个等间隔角度的零点，它的频率响应为

（7.16）

因而幅度响应为

幅角为

其子网络结构及频率响应幅度见图7.14。

级联的第二部分为

它是由N个一阶网络并联组成，而这每一个一阶网络都是一个谐振器

（7.17）

令H'k(z)的分母为零，即令

可得到此一阶网络在单位圆上有一个极点

图7.14 梳状滤波器结构及频率响应幅度

图7.15 FIR滤波器的频率抽样型结构

也就是说：此一阶网络在频率为

处响应为无穷大，故等效于谐振频率为2πk / N的无损耗谐振器。这个谐振器的极点正好与梳状滤波器的一个零点（I = k）相抵消，从而使这个频率（ω= 2πk / N）上的频率响应等于H (k)。这样，N个谐振器的N个极点就和梳状滤波器的N个零点相互抵消，从而在N个频率抽样点上（ω= 2πk / N，k = 0，1，．．．，N —1）的频率响应就分别等于N个H (k)值。

N个并联谐振器与梳状滤波器级联后，就得到图7.15的频率抽样结构。

频率抽样结构的特点是它的系数H (k)就是滤波器在ω= 2πk / N处的响应，因此控制滤波器的频率响应很方便。但是结构中所乘的系数H (k)及WN都是复数，增加了乘法次数和存储量，而且所有极点都在单位圆上，由系数WN决定，这样，当系数量化时，这些极点会移动，有些极点就不能被梳状滤波器的零点所抵消（零点由延时单元决定，不受量化的影响）。系统就不稳定了。

为了克服系数量化后可能不稳定的缺点，可以将频率抽样结构做一点修正，即将所有零、极点都移到单位圆内某一靠近单位圆、半径为r (r小于或近似等于1)的圆上（r为正实数）。

快速卷积

前一章谈到，只要将两个有限长序列补上一定的零值点，就可以用圆周卷积来代替两序列的线性卷积。由于时域的圆周卷积，等效到频域则为离散傅立叶变换的乘积。因而，如果

即将输入x (n)补上L—N1个零值点，将有限长单位冲激响应h (n)补上L—N2个零值点，只要满足L >= N1 + N2—1，则L点的圆周卷积就能代表线性卷积，即

用DFT表示，则有

Y(k) =X(k)H(k)

因而有

其中

Y(k) = DFT[y (n)]，L点

X(k) = DFT[x(n)]，L点

H(k) = DFT[h (n)]，L点

这样，我们就可得到图7.16的快速卷积结构，当N1，N2足够长时，它比直接计算线性卷积要快得多。这里计算DFY和IDFT都采用快速傅立叶变换计算方法。