剖析3-sum问题(Three sum)

日常生活中经常遇到求解数组中是否存在和为0的三个数，即3-sum问题，为此本文介绍一些比较实用的方法，并在暴力计算的基础上对算法逐步改进，以达到最优的算法。

首先介绍一下2-sum问题，3-sum问题其实就是2-sum问题的一个扩展而已。对于2-sum问题，最一般的想法就是使用两层循环直接枚举数组中的所有元素对，直到找到和为0的元素对为止。

int sum_2(){int res = 0;int n = data.size();for(int i=0; i<n; i++){for(int j=i+1; j<n; j++){if(data[i] + data[j] == 0){res ++;}}}return res;}

上述算法的由于包含了两层循环，因此时间复杂度为O(N^2)。

观察发现，上述算法时间主要花费在数据比对，为此可以考虑使用二分查找来减少数据比对时间，要想使用二分查找，首先应该对数据进行排序，在此使用归并排序对数组进行升序排列。排序所花时间为O(NlogN)，排序之后数据查找只需要O(logN)的时间，但是总共需要查找N此，为此改进后算法的时间复杂度为O(NlogN)。

int cal_sum_2(){int res = 0;for(int i=0; i<data.size(); i++){int j = binary_search(-data[i]);if(j > i)res++;}return res;}

观察上述算法发现，我们在比对的过程中还是存在了一些冗余。因为排列后的数据是从最小的数开始匹配的，我们只需计算其与最后的数据的和是否为0即可，如果大于0，则说明不存在与最小数匹配的数，此时将用较小的数来替代最大的数，反之则选用较大的数替代最小的数，如此反复，只需要扫描一遍数组即可得到所有符合条件的元素对。此算法所用的时间主要还是数组排序的时间，即O(NlogN)。

int cal_sum_2_update(){int res = 0;for(int i=0,j=data.size()-1; i<j; ){if(data[i] + data[j] > 0)j--;else if(data[i] + data[j] < 0)i++;else{res++;j--;i++;}}return res;}

上述2-sum的解题思路适用于3-sum及4-sum问题，如求解a+b+c=0，可将其转换为求解a+b=-c，此就为2-sum问题。为此将2-sum，3-sum，4-sum的求解方法以及相应的优化方法实现在如下所示的sum类中。

sum类定义

#ifndef SUM_H#define SUM_H#include <vector>using std::vector;class sum{private:vector<int> data;public:sum(){};sum(const vector<int>& a);~sum(){};int cal_sum_2() const;int cal_sum_3() const;int cal_sum_4() const;int cal_sum_2_update() const;int cal_sum_3_update() const;int cal_sum_3_update2() const;int cal_sum_4_update() const;void sort(int low, int high);void print() const;friend int find(const sum& s, int target); };#endif

sum类实现

#include "Sum.h"#include <iostream>using namespace std;sum::sum(const vector<int>& a){data = a;}void sum::sort(int low, int high){if(low >= high)return;int mid = (low+high)/2;sort(low,mid);sort(mid+1,high);vector<int> temp;int l = low;int h = mid+1;while(l<=mid && h <=high){if(data[l] > data[h])temp.push_back(data[h++]);elsetemp.push_back(data[l++]);}while(l<=mid)temp.push_back(data[l++]);while(h<=high)temp.push_back(data[h++]);for(int i=low; i<=high; i++){data[i] = temp[i-low];}}void sum::print() const{for(int i=0; i<data.size(); i++){cout<<data[i]<<" ";}cout<<endl;}int find(const sum& s, int target){int low = 0;int high = s.data.size()-1;while(low <= high){int mid = (low + high)/2;if(s.data[mid] < target){low = mid+1;}else if(s.data[mid] > target){high = mid - 1;}else{return mid;}}return -1;}int sum::cal_sum_2() const{int res = 0;for(int i=0; i<data.size(); i++){int j = find(*this, -data[i]);if(j > i)res++;}return res;}int sum::cal_sum_3() const{int res = 0;for(int i=0; i<data.size(); i++){for(int j=i+1; j<data.size(); j++){for(int p=j+1;p<data.size();p++){if(data[i] + data[j] + data[p] == 0)res++;}}}return res;}int sum::cal_sum_4() const{int res = 0;for(int i=0; i<data.size(); i++){for(int j=i+1; j<data.size(); j++){for(int p=j+1; p<data.size(); p++){for(int q=p+1; q<data.size(); q++){if(data[i]+data[j]+data[p]+data[q] == 0)res++;}}}}return res;}int sum::cal_sum_2_update() const{int res = 0;for(int i=0,j=data.size()-1; i<j; ){if(data[i] + data[j] > 0)j--;else if(data[i] + data[j] < 0)i++;else{res++;j--;i++;}}return res;}int sum::cal_sum_3_update() const{int res = 0;for(int i=0; i<data.size(); i++){for(int j=i+1; j<data.size(); j++){if(find(*this, -data[i] - data[j]) > j)res ++;}}return res;}int sum::cal_sum_3_update2() const{int res = 0;for(int i=0; i<data.size(); i++){int j=i+1;int p=data.size()-1;while(j<p){if (data[j] + data[p] < -data[i])j++;else if(data[j] + data[p] > -data[i])p--;else{res++;j++;p--;}}}return res;}int sum::cal_sum_4_update() const{int res = 0;for(int i=0; i<data.size(); i++){for(int j=i+1; j<data.size(); j++){for(int p=j+1; p<data.size(); p++){if(find(*this, -data[i]-data[j]-data[p])>p)res++;}}}return res;}

测试代码

#include "Sum.h"#include <iostream>#include <fstream>#include <vector>using namespace std;void main(){ifstream in("1Kints.txt");vector<int> a;while(!in.eof()){int temp;in>>temp;a.push_back(temp);}sum s(a);s.sort(0,a.size()-1);s.print();cout<<"s.cal_sum_2() = "<<s.cal_sum_2()<<endl;cout<<"s.cal_sum_2_update() = "<<s.cal_sum_2_update()<<endl;cout<<"s.cal_sum_3() = "<<s.cal_sum_3()<<endl;cout<<"s.cal_sum_3_update() = "<<s.cal_sum_3_update()<<endl;cout<<"s.cal_sum_3_update()2 = "<<s.cal_sum_3_update2()<<endl;cout<<"s.cal_sum_4() = "<<s.cal_sum_4()<<endl;cout<<"s.cal_sum_4_update() = "<<s.cal_sum_4_update()<<endl;}

上述算法设计思路希望对你在今后学习算法的过程中有所帮助。