C++实现质因数分解

      质数（prime number）又称素数，有无限个。一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除（除0以外）的数称之为素数（质数）；否则称为合数。根据算术基本定理，每一个比1大的整数，要么本身是一个质数，要么可以写成一系列质数的乘积；而且如果不考虑这些质数在乘积中的顺序，那么写出来的形式是唯一的。最小的质数是2。

          质因数（或质因子）在数论里是指能整除给定正整数的质数。两个没有共同质因子的正整数称为互质。因为1没有质因子，1与任何正整数（包括1本身）都是互质。正整数的因数分解可将正整数表示为一连串的质因子相乘，质因子如重复可以指数表示。根据算术基本定理，任何正整数皆有独一无二的质因子分解式。只有一个质因子的正整数为质数。综上所述质因数分解是唯一的。

质因数分解的经典算法是：

Pollard Rho因数分解（Prime decomposition）

1975年，John M. Pollard提出了第二种因数分解的方法，Pollard Rho快速因数分解。该算法时间复杂度为O（n^(1/4)）。

 

分解质因数代码：

将一个正整数分解质因数。例如：输入90,打印出90=2*3*3*5。
程序分析：对n进行分解质因数，应先找到一个最小的质数k，然后按下述步骤完成： 
(1)如果这个质数恰等于n，则说明分解质因数的过程已经结束，打印出即可。
(2)如果n<>k，但n能被k整除，则应打印出k的值，并用n除以k的商,作为新的正整数你n,
　重复执行第一步。
(3)如果n不能被k整除，则用k+1作为k的值,重复执行第一步。

另外在编写程序的时候还要用到的一个定理是：

判断一个自然数是否是质数，只用看从2到根号N是否能整除N。也就是说，

一个合数的最小正因子必小于根号N。

对于上面定理的简单思考证明：

首先，约数是成对出现的。比如24,你找到个约数3,那么一定有个约数8,因为24/3=8。
然后，这对约数必须一个在根号n之前，一个在根号n之后。因为都在根号n之前的话，
乘积一定小于n（根号nX根号n=n），同样，都在根号n之后的话，乘积一定大于n。
所以，如果你在根号n之前都找不到约数的话，那么根号n之后就不会有了。

如果N (N>=2)没有小于等于根号N，大于1的约数，那么N必然是质数。
假设N不是质数，并且不含有小于等于根号N的约数。
因为N是合数，那么N必然可以写成N=p*q，并且p和q大于1。根据假设，p和q都大于根号N。那么p*q>N，矛盾

具体程序：

程序用到了cmath头文件。cmath是c++语言中的库函数，其中的c表示函数是来自c标准库的函数，math为数学常用库函数。

cmath库函数列表:

C语言提供了以下的数学函数，要使用这些函数时，在程序文件头必须加入：

#include <math.h>

编译时，必须加上参数「-lm」（表示连结至数学函式库），例如「gcc -lm test.c」。

函数之自变量与传回之值型别见自变量或函数前之型别宣告。

函数已经在「math.h」或其它标头档宣告过了，因此在使用时不必再加型别宣告，例如「y=sin(x);」，不用写成「y=double sin(double x);」。

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
void PrimeDecomposition(int k)
{
cout<<k<<"=";
if(k<2)
cout<<"不能够进行质因数分解"<<endl;
else if(k==2)
cout<<"2*1"<<endl;
else
{

for(int i=2;i<sqrt(k);i++)
{
while(k!=i)//这里用while循环是考虑到质因子中有可能有重复个i的情况
{
if(k%i==0)
{
cout<<i<<"*";
k=k/i;
}
else
break;
}
}
cout<<k<<endl;
}
}
//另外一种写法
/*void Analyse(int n)  
{  
    //首先输出等式左边部分  
    cout<<n<<" = ";  
  
    //对n进行质因数分解，应先找到一个最小的质数2  
    //如果这个质数恰好等于2，则说明分解质因素的过程结束，打印  
    if(n == 2)  
    {  
        cout<<n<<endl;  
    }  
    //n小于2时，无法进行质因素分解，提示相应信息  
    else if(n < 2)  
    {  
        cout<<"该数不可以分解质因素"<<endl;  
    }  
    else  
    {  
        //如果n>=k,但n能被k整数，则打印出k的值  
        for(int i = 2;i <= sqrt(static_cast<double>(n));i++)  
        {  
            if(n % i == 0)  //关键在于这里没有用上面的while循环了，改用i--来检测是否有重复的质因子
            {  
                n = n/i;  
                cout<<i<<"*";  
                //重复执行上一步  
                i--;  
            }  
        }  
        cout<<n<<endl;  
    }  
}  */
int main()
{
int n=90;
PrimeDecomposition(n);
return 0;
}

上面的算法效率并不高，还有改进的效率更好的算法。

1：如果追求速度的话，可以先列一个质数表数组，然后从小到大试，能少做很多尝试。用查质数表的方法会快很多

关于问题的引申：如何判断一个数是不是素数

参考：

http://bbs.csdn.net/topics/340202337

http://www.cnblogs.com/skyivben/archive/2010/07/10/1775001.html