【学习笔记----数据结构14-图】

 图

定义：是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通常表示为G（V,E），其中，G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是图G中边的集合。

注意：

1.    在图中数据元素，我们称之为顶点

2.    在图结构中，不允许没有顶点。在定义中，若V是顶点集合，则强调顶点集合V有穷非空

3.    图中，任意两个顶点之间都有可能有关系，顶点之间的逻辑关系用边来表示。（边集可以为空）

 

无向边：若顶点V_i到V_j之间的边没有方向，则称这条边为无向边，用无序偶对（v_i,v_j）来表示。

无向图：如果图中任意两个顶点之间的边都是无向边。则称为无向图。由于是无向的，连接顶点A与D的边，可以表示成无序对（A,D），也可以写成（D,A）

对于无向图G1={V1，{E1}}

V1={A,B,C,D}；

边集全E1={(A,B),(B,C),(C,D),(D,A),(A,C)}

有向边：若从顶点Vi到Vj；的边有方向，则称这条边为有向边，也称为弧（Arc）

              用有序对<V_i,V_j>,Vi称为弧尾，Vj称为弧头。

有向图：如果图中任意两个顶点之间的边都是有向边，则称该图为有向图。

连接顶点A到D的有向边就是弧，A是弧尾，D是弧头，<A,D>表示弧，注意不能写成<D,A>。

G₂=（V₂,{E₂}）

其中顶点集合V2={A,B,C,D}；

弧集合E2={(A,D),(B,A),(C,A),(B,C)}

在图中，若不存在顶点到其自身的边，且同一条边不重复出现，则称这样的图为简单图。

我们将要讨论的图都是简单图。

在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称该图为无向完全图。

含有n个顶点的无向完全图有n(n-1)/2条边

在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向互为相反的两条弧，则称该图为有向完全图。

含有n个顶点的有向完全图有n(n-1)条边。

 

有很少条边或弧的图称为稀疏图，反之称为稠密图。

有些图的边或弧具有与它相关的数字，我们称之为边或弧相关的数叫做权。

这些权可以表示从一个顶点到另一个顶点的距离或耗费。这种带权的图通常称为网（Network）。

子图：假设有两个图G=（V,{E}）和G’=（V’，{E’}），如果V’真包含于V

         E’真包含于E，则称G’为G的子图。

 

图的顶点与边的关系

对于无向图G=(V,{E})，如果边（v,v’）∈E，则称顶点V和V’互为邻接点（Adjacent），即V和V’，相邻接。边（v,V’）依附于顶点V和V’相关联。顶点V的度（Degree）是和V相关联的边的数目记为TD（v）

如图顶点A和B互为邻接点，边（A,B）依附与顶点A与B上，顶点A的度为3。而此图的边数是5，各顶点度的和=3+2+3+2=10。推敲后发现，边数其实就是各顶点度数和的一半。

多出的一半是因为重复两次记数

简记为

对于有向图G=（V，{E}），如果弧<v,v’>∈ E,则称顶点V邻接到顶点V’，顶点V’邻接自顶点V。弧<v,v’>和顶点V,V’相关联。以顶点V为头的弧的数目称为v的入度（InDegree），记为ID（v）；以v为尾的弧的数目为v的出度（OutDegree）记为OD(v)；顶点v的度为TD（v）=ID(v)+OD(v)。

 

树中根结点到任意结点的路径是唯一的，但是图中顶点与顶点之间的路径却是不唯一的。

路径的长度是路径上的边或弧的数目。

第一个顶点到最后一个顶点相同的路径称为回路或环。序列中顶点不重复出现的路径称为简单路径。除第一个顶点和最后一个顶点之外，其余顶点不重复出现的回路径称为简单回路或简单环。

上图粗线都构成环，左侧的环因第一个顶点和最后一个顶点都是B，且CDA没有重复出现，因此是一个简单环。而右侧的环，由于顶点C的重复，它就不是简单环了。

连通图相关术语

在无向图G中，如果从顶点v到顶点v’有路径，则称v和v’是连通的。如果对于图中任意两个顶点vi、vj∈v，vi和vj都是连通的，则称G是连通图（Connected Graph）。

 

上图1顶点A到顶点BCD都是连通的，但显然顶点A到顶点E或F就无路径，因此不能算是连通图。

无向图中的极大连通子图称为连通分量。

l  要是子图

l  子图要是连通的

l  连通子图含有极大顶点数

l  具有极大顶点数的连通子图包含依附于这些顶点的所有边

上图1是一个无向非连通图。但是它有两个连通分量，即图2和下图3

尽管图4是图1的子图，但是它却不满足连通子图的极大顶点数。因此它不是图1的无向连通分量

 

在有向图G中，如果对于每一对v_i、v_j∈V、v_i≠v_j，从v_i到v_j和从v_j到vi都存在路径，则称G是强连通图。有向图中的极大强连通子图称做有向图的强连通分量。

 

所谓一个连通图的生成树是一个极小的连通子图，它含有图中全部的n个顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。

 

如果一个图有n个顶点和小于n-1条边，则是非连通图，如果多于n-1条边。必定构成一个环，因为这条边使得它的那两个顶点之间有了第二条路径。不过有n-1条边并不一定是生成树。

 

如果一个有向图恰有一个顶点的入度为0，其余顶点的入度均为1，则是一棵有向树。对有向树的理解比较容易，所谓入度为0其实就相当于树的根结点，其顶点入度为1就是说树的非根结点的双亲只有一个。一个有向图的生成森林由若干棵有向树组成，含有图中全部顶点，但只有足以构成若干棵不相交的有向树的弧。

 

总结

图按照有无方向分为无向图和有向图

无向图由顶点和边构成

有向图由顶点和弧构成

图按照边或弧的多少分为稀疏图和稠密图

如果任意两个点之间都存在边称为完全图，如果是有方向的称为有向完全图。

若无重复的边或顶点到自身的边则叫简单图

图中顶点之间有邻接点、依附的概念。

无向图顶点的边数叫做度，有向图顶点分为入度和出度。

图上的边或弧上带权则称为网

图中顶点间存在路径，两顶点存在路径说明是连通的。如果路径最终回到起点称为环，当中不重复叫简单路径。若任意两点都是连通的，则图就是连通，有向则称强连通图。

图中有子图，若子图极大连通则就是连通分量，有向的则称强连通分量。

无向图中连通且n个顶点n-1条边叫生成树。

有向图中一顶点入度为0其余顶点入度为1的叫有向树。一个有向图由若干棵有向树构成生成森林。