各种插值算法的金字塔算法

拉格朗日插值以线性插值为基础,利用层层递进的原理,先对点插值,然后是线,然后是三次多项式,...,最终插值出所需要的曲线.此曲线必过控制点,拉格朗日多项式的控制点数和多项式的次数成正比,当插值的点数很大时,多项式的次数也很高

// 功能: 幂运算
// 参数: base   基数
//        para    幂
// 返回: 运算结果
double power ( double base, int para )
{
    double tmp=1;
    int i=0;
    for ( i=0; i<para; ++i )
        tmp *= base;
    return tmp;
}

// 功能: 按照指定的精度,规范化数值
// 参数: value  要被规范化的数值
//         dec   精度
// 返回: 规范化数值
// 说明: (2.456, 2 ) ==> 2.45
double Normalize ( double value, int dec )
{
    int tmp = value * power ( 10, dec );
    return tmp/power ( 10, dec );
}

//说明:    根据阶数计算拉格朗日多项式,金字塔算法通式
//参数:    num     多项式的阶数
//           t        参数
//           PolynomialsValues     生成的多项式系数
//返回:    生成正确返回true,否则返回flase


bool LagrangePolynomials ( int num, double t, std::deque<double>& PolynomialsValues )
{
    double        parentL, parentR, delta, cPL, cPR, value;
    double        bakLeft, tCurLeft = 1, tCurRight = 0;
    int                i, j, oldLength;

    delta = 1.0/(num-1);
    PolynomialsValues.push_back ( 1 );
    // 开始计算, 分层进行插值
    for ( i=0; i<num-1; ++i ){
        bakLeft = tCurLeft;
        oldLength = PolynomialsValues.size();

        if ( oldLength == 1 )
            parentL = parentR = PolynomialsValues[0];
        else{
            parentL = PolynomialsValues[0];
            parentR = PolynomialsValues[1];
        }
        // 左边缘单独处理
        cPL = tCurLeft - tCurRight;
        value = Normalize( parentL * (tCurLeft-t) / cPL, 4 );
        PolynomialsValues.push_back ( value );
        // 处理中间部分
        tCurLeft += delta;
        for ( j=0; j<oldLength-1; ++j ){
            parentL = PolynomialsValues[j];
            parentR = PolynomialsValues[j+1];
            cPL = tCurLeft - delta - tCurRight;
            cPR = tCurLeft - tCurRight - delta;

            value = ((t-tCurRight)*parentL)/cPL + ((tCurLeft-t)*parentR)/cPR;
            PolynomialsValues.push_back ( Normalize( value, 4 ) );
            
            tCurLeft += delta;
            tCurRight += delta;
        }
        // 右边缘单独处理
        tCurLeft -= delta;
        cPR = tCurLeft - tCurRight;
        value = Normalize( parentR * (t - tCurRight) / cPR, 4 );
        PolynomialsValues.push_back ( value );
        
        // 删除上一行的内容
        PolynomialsValues.erase(PolynomialsValues.begin(), PolynomialsValues.begin()+oldLength );        

        // 改变左右系数
        tCurLeft = bakLeft - delta;
        tCurRight = 0;
    }
    
    return true;
}

 

berstein和lagrange间的差别很小,当利用lagrange进行线性插值时,每次使用的插值参数都是不同的,而berstein则刚好 相反,berstein却不要求曲线必过控制点,所以berstein的多项式是逼近方法而不是插值方法,所以实现和lagrange的差不多,只是更简 单些:)
//说明:    根据阶数计算berstein基函数,金字塔算法通式
//参数:  num       多项式的阶数
//        t            参数
//        PolynomialsValues    生成的多项式系数
//返回:    生成正确返回true,否则返回flase

bool BernsteinBase ( int num, double t, std::deque<double>& PolynomialsValues )
{
    double        parentL, parentR, delta, value;
    double        tCurLeft = 1, tCurRight = 0;
    int            i, j, oldLength;
    // 参数检查
   
    delta = 1.0/(num-1);
    PolynomialsValues.push_back ( 1 );
    // 开始计算
    for ( i=0; i<num-1; ++i ){
        oldLength = PolynomialsValues.size();

        if ( oldLength == 1 )
            parentL = parentR = PolynomialsValues[0];
        else{
            parentL = PolynomialsValues[0];
            parentR = PolynomialsValues[1];
        }
        // 左边缘单独处理
        value = Normalize( parentL * (tCurLeft-t), 4 );
        PolynomialsValues.push_back ( value );
        // 处理中间部分

        for ( j=0; j<oldLength-1; ++j ){
            parentL = PolynomialsValues[j];
            parentR = PolynomialsValues[j+1];

            value = ((t-tCurRight)*parentL) + ((tCurLeft-t)*parentR);
            PolynomialsValues.push_back ( Normalize( value, 4 ) );
               
        }
        // 右边缘单独处理

        value = Normalize( parentR * (t - tCurRight), 4 );
        PolynomialsValues.push_back ( value );
       
        // 删除上一行的内容
         PolynomialsValues.erase(PolynomialsValues.begin(),        PolynomialsValues.begin()+oldLength );       

    }
   
    return true;
}

 

/* B-样条基函数,金字塔算法通式
@remark                    根据计算B-样条基函数,金字塔算法通式
@para num                多项式的阶数
@para t                    参数
@para SectNum            B-样条分段的段号
@para PolynomialsValues    生成的多项式系数
@return                    生成正确返回true,否则返回flase
*/
bool BSplineBase ( int stage, double t, int SectNum, std::deque<double>& PolynomialsValues )
{
    double        parentL, parentR, delta, cPL, cPR, value;
    double        tCurLeft, tCurRight;
    int            i, j, oldLength;
    // 参数检查
    
    delta = 1.0/(2*stage-1);

    tCurLeft = (3+SectNum) * delta;
    tCurRight = tCurLeft - delta;
    PolynomialsValues.push_back ( 1 );
    // 开始计算
    for ( i=0; i<stage; ++i ){
        oldLength = PolynomialsValues.size();

        if ( oldLength == 1 )
            parentL = parentR = PolynomialsValues[0];
        else{
            parentL = PolynomialsValues[0];
            parentR = PolynomialsValues[1];
        }
        // 左边缘单独处理
        cPL = tCurLeft - tCurRight;
        value = Normalize( parentL * (tCurLeft-t) / cPL, 4 );
        PolynomialsValues.push_back ( value );
        // 处理中间部分
        tCurLeft += delta;
        for ( j=0; j<oldLength-1; ++j ){
            parentL = PolynomialsValues[j];
            parentR = PolynomialsValues[j+1];
            cPL = tCurLeft - delta - tCurRight;
            cPR = tCurLeft - tCurRight - delta;

            value = ((t-tCurRight)*parentL)/cPL + ((tCurLeft-t)*parentR)/cPR;
            PolynomialsValues.push_back ( Normalize( value, 4 ) );
            
            tCurLeft += delta;
            tCurRight += delta;
        }
        // 右边缘单独处理
        tCurLeft -= delta;
        cPR = tCurLeft - tCurRight;
        value = Normalize( parentR * (t - tCurRight) / cPR, 4 );
        PolynomialsValues.push_back ( value );
        
        // 删除上一行的内容
        PolynomialsValues.erase(PolynomialsValues.begin(), PolynomialsValues.begin()+oldLength );        

        // 改变左右系数
        tCurLeft = (3+SectNum) * delta;
        tCurRight = tCurLeft - (i+2)*delta;
    }
    
    return true;
}