为什么0.1无法被二进制小数精确表示？

为什么0.1无法被二进制小数精确表示？
2012年08月24日 ⁄ 综合 ⁄ 共 1055字 ⁄ 字号 小 中 大 ⁄ 评论关闭
这个问题困扰了我不少时间，最近有个比较清晰的认识，和大家分享。
这个问题首先要从数位表示法说起。今天我们看到的123这样的十进制数，是自然而然的理解其意义，但是有没有深究其内在的数学原理呢？
所谓十进制是0~9十个基本符号为基础的一种数字表示法，数位表示法是将一串基本符号从左到右连续排列的一种方法。为什么12时表示一十二，而不是二十一，或者是一加二的意思呢？因为数字所处的位置是有特别意义的，最右边第一个数字符号，代表基本的数0~9，而第二位的意义并不是0~9，而是0*10~9*10。推而广之，百位是x*100，（x是符号），用简练的数学公式就是x*10^k , 个位k是0，十位是1，百位k是2，从右到左一直数下去。123的意思就是1*10^2+2*10^1+3*10^0。
位置，进制，符号这三者的关系就是“123”这种数字表示法内在的数学原理。
那么，0.1 是什么意思？是1*10^-1，向右数数的结果。小数点是为了区分个位的位置在哪里。
一个数要用“数位表示法”表示出来，必然需要能够化为x*10^k的形式，而并不是任意数都能够做到。从数位法小数的定义看可以得知，一个数要能够被表示出来，需要能除尽10，才有若干个x*10^k 的数位组合表示它，否则就是无数个符号才能表示。如1/3这个数除以10等于1/3*1/10 = 0.0333333….循环小数。
究竟哪些数可以用十进制表示哪些不可以？如分母是10的因子和因子的合数，如1，2，5，10，20，50等（整数分母为1，而任意大于1的数的因子都有1和自身，因此整数可以用任意数制精确表示）。
回答题目，为什么0.1无法被二进制小数表示，0.1即1/10这个数要转换成二进制即x*2^k的组合数，必须要除尽2.要注意，2进制只有0，1两个符号，另一个需要注意，二进制被除数右移一位等于*2，而非10进制的*10。

1/10*1/2 = 1/20

1*2*2*2*2 = 32 右移4位

-20 = 12        商1

12*2 = 24 右移1位

-20 = 4       商1

4*2*2*2 =32 右移3位
-20 = 12   商1  可见数字重复了，循环小数无疑
即 0.00011001。
那么2进制能够表示哪些十进制小数，5/10，因为能约成1/2，分母是2的因子。
总结一点，就是位置表示法有其自身的缺陷，并不能在有限的数位，表示众多有理数，这个时候，需要借助分数来帮忙，来避免位置表示法以固定数作分母这个缺点。
如果需要一个可以避免循环小数的数制，不妨试用210进制，因为因子比较多，2*3*5*7 =210.