算法重拾之路——合并排序

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隶属于递归与分治

合并排序

问题描述：实现对n个元素的排序。

算法描述：不断将待排序的元素分成大小大致相同的两个子集合各自排序，最终将排序好的两个子集合合并。集合不断递归分下去，直至集合元素个数为1。

算法程序：

<span style="font-family:Comic Sans MS;"> int a[6]={1,6,4,3,5,2},b[6];template< class Type >void Merge( Type a[] , Type b[] , int left , int mid , int right ){    int i,j,k;    i=left;    j=mid+1;    k=left;    while( i<=mid && j<=right ) {        if( a[i] < a[j] )   b[k++] = a[i++];        else    b[k++] = a[j++];    }    if( i <= mid )  {        for( ; i <= mid ; ++i )            b[k++] = a[i];    }    if( j <= right )    {        for( ; j <= right ; ++j )            b[k++] = a[j];    }}template< class Type >void Copy( Type a[] , Type b[] , int left , int right ){    int i;    for( i = left ; i <= right ; ++i )        a[i] = b[i];}template< class Type >void MergeSort( Type a[] , int left , int right ){    if( left < right )  {        int i = (left+right)/2;        MergeSort(a,left,i);        MergeSort(a,i+1,right);        Merge(a,b,left,i,right);        Copy(a,b,left,right);    }}</span>

三个函数：

——MergeSort：对数组a的left到right位置进行排序

——Merge：将a[0:left] 与 a[mid+1:right] 合并到数组b中

——Copy：将数组b，复制到数组a中

算法分析：

Merge和Copy都可以在O（n）时间内算完，因此对n个元素进行排序，最坏情况下所需的计算时间T(n)满足：

T（n）= O（1） n≤1

2*T（n/2）+O（n）n＞1

解这个递归方程可得，T(n) = O(n*log(n) )

算法优化：

通过修改分治策略机制，将递归消除。算法MergeSort的递归过程只是将待排序集合一分为二，直至集合剩下一个元素位置，然后不断合并排好序的集合。

因此，我们可以直接相邻的元素两两配对，通过合并算法将它们排序，不断合并，最后达到排序的目的。

优化算法程序：

<span style="font-family:Comic Sans MS;">template< class Type >void Merge( Type a[] , Type b[] , int left , int mid , int right ){    int i,j,k;    i=left;    j=mid+1;    k=left;    while( i<=mid && j<=right ) {        if( a[i] < a[j] )   b[k++] = a[i++];        else    b[k++] = a[j++];    }    if( i <= mid )  {        for( ; i <= mid ; ++i )            b[k++] = a[i];    }    if( j <= right )    {        for( ; j <= right ; ++j )            b[k++] = a[j];    }}template<class Type>void MergePass( Type x[] , Type y[] , int s , int n ){    int i = 0;    while( i <= n-2*s )    {        Merge(x,y,i,i+s-1,i+2*s-1);        i=i+2*s;    }    if( i+s < n )   Merge(x,y,i,i+s-1,n-1);    else        for(int j = i ; j <= n-1 ; ++j )            y[j] = x[j];}template<class Type>void MergeSort(Type a[],int n){    Type *b = new Type[n];    int s = 1;    while( s < n )    {        MergePass(a,b,s,n);        s+=s;        MergePass(b,a,s,n);        s+=s;    }}</span>

优化算法分析：

这个就是 自然合并排序算法，按照这个方式进行合并排序所需的合并次数最少。例如对于给出n个元素数组排好序的极端情况的排序，自然合并排序算法不需要执行合并步，而普通合并算法需要执行 log(n) 次合并。因此，此时自然合并排序算法需要O（n）的时间，而普通合并算法需要O（n*log(n)）时间。

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