POJ 2406--Power Strings(kmp算法)

题意：给定一规模为1e6的字符串S，求出S的最短重复子串a。

题解：利用KMP算法求字符串最大周期。

KMP算法：

• 目的就是求一字符串的前缀数组pi[q] = max{k: k < q且P[k]是P[q]的后缀}，其中数组索引从1开始，P[k]代表从S[1]到S[k]组成的S的子串。这里有一个很重要的概念就是P[k]显然也是S的前缀。

 首先给出求前缀数组的算法：

int calc_prefix(char* s,int* pi){    int k,q;    pi[1] = 0;    k = 0;    for(q = 2;q <= N;q++)    {        while(k != 0&&s[k+1] != s[q])        {            k = pi[k];        }        if(s[k+1] == s[q])        {            k++;        }        pi[q] = k;    }    return 0;}

代码中最NB的就是那个while的迭代了。

其中的迭代我们用另一个集合来解释：pi*[q] = {pi[q],pi[pi[q]],...,0}。

• 注意到P[pi[q]]是P[q]的前缀以及后缀，同理P[pi[pi[q]]]是P[pi[q]]的前缀以及后缀，易知P[pi[pi[q]]]也是P[q]的前缀以及后缀。于是我们有结论：pi*[q]  = {k:k < q且P[k]是P[q]的后缀}。
• 这样代码中的迭代也就容易理解了，因为进入while时k = pi[q-1]，且经过迭代P[k]都一直是P[q-1]的后缀，所以当遇到一个S[k+1] = S[q]时，此时P[k+1]就是P[q]的后缀，显然它也是最大的k。

KMP求最大周期：

• 先给出结论：当len%(len-pi[len]) == 0时，len/(len-pi[len])就是S的最大周期，且P[len-pi[len]]就是最小重复子串，若条件中式子不能整除则S周期为1。
• 证明：

1. 根据条件设len = k*(len-pi[len])，则我们将S分成k个长度均为len-pi[len]子串：s1s2...sk。
2. 根据KMP算法的推导，易知P[pi[len]] = s1s2...s(k-1)既是S的前缀也是S的后缀。也即是我们将S向右偏移s1的长度新的S与原来的S重合部分相等，于是我们有s1 = s2 = s3 = ...=sk。即s1是S的一个重复子串。
3. s1是最短的证明可以用反证法，若还有更短的重复子串，则易知pi[len]将会增大，得证。

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>using namespace std;#define maxN 1000005class solve{private:    char* s;    int len;    int* pi;public:    solve(char* a):s(a)    {        len = strlen(s+1);        pi = new int[len+5];        calc_prefix();        if(len%(len-pi[len]) == 0)            printf("%d\n",len/(len-pi[len]));        else            printf("1\n");    }    ~solve()    {        delete[] pi;    }    int calc_prefix();};int solve::calc_prefix(){    pi[1] = 0;    int k = 0;    for(int q = 2;q <= len;q++)    {        while(k > 0&&s[k+1] != s[q])        {            k = pi[k];        }        if(s[k+1] == s[q])        {            k++;        }        pi[q] = k;    }    return 0;}int main(){    char s[maxN];    while(gets(s+1)&&s[1] != '.')    {        solve poj_2406(s);    }    return 0;}

附上字符串索引从0开始的KMP匹配代码：

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>using namespace std;int calcPrefix(char* p, int* pi) {pi[1] = 0;//pi[k]代表p的长度为k的前缀子串中，不仅是其前缀也是其后缀的最大子串长度 int q = 0;for(int i = 1;i < strlen(p);i++) {while(q && p[q] != p[i]) {q = pi[q];}if(p[q] == p[i]) {q++;}pi[i+1] = q;}return 0;}int kmpMatch(char* pattern, char* text) {int* pi;int pLen = strlen(pattern);int tLen = strlen(text);pi = new int[pLen+1];calcPrefix(pattern, pi);int q = 0;int matchNum = 0;for(int i = 0;i < tLen;i++) {while(q && pattern[q] != text[i]) {q = pi[q];}if(pattern[q] == text[i]) {q++;}if(q == pLen) {cout<<"match!"<<endl;matchNum++;q = pi[q];}}return matchNum;}int main() {cout<<kmpMatch("af", "afdfdg")<<endl;    return 0;}