POJ 题目2299 Ultra-QuickSort（树状数组求逆序对）

来源：互联网发布：java超市管理系统编辑：程序博客网时间：2024/04/30 18:21

Ultra-QuickSort

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Description

In this problem, you have to analyze a particular sorting algorithm. The algorithm processes a sequence of n distinct integers by swapping two adjacent sequence elements until the sequence is sorted in ascending order. For the input sequence
9 1 0 5 4 ,
Ultra-QuickSort produces the output
0 1 4 5 9 .
Your task is to determine how many swap operations Ultra-QuickSort needs to perform in order to sort a given input sequence.

Input

The input contains several test cases. Every test case begins with a line that contains a single integer n < 500,000 -- the length of the input sequence. Each of the the following n lines contains a single integer 0 ≤ a[i] ≤ 999,999,999, the i-th input sequence element. Input is terminated by a sequence of length n = 0. This sequence must not be processed.

Output

For every input sequence, your program prints a single line containing an integer number op, the minimum number of swap operations necessary to sort the given input sequence.

Sample Input

59105431230

Sample Output

Source

Waterloo local 2005.02.05

思路：http://www.cnblogs.com/shenshuyang/archive/2012/07/14/2591859.html

树状数组，具体的说是离散化+树状数组。这也是学习树状数组的第一题.

算法的大体流程就是：

1.先对输入的数组离散化，使得各个元素比较接近，而不是离散的，

2.接着，运用树状数组的标准操作来累计数组的逆序数。

算法详细解释：

1.解释为什么要有离散的这么一个过程？

刚开始以为999.999.999这么一个数字，对于int存储类型来说是足够了。

还有只有500000个数字，何必要离散化呢？

刚开始一直想不通，后来明白了，后面在运用树状数组操作的时候，

用到的树状数组C[i]是建立在一个有点像位存储的数组的基础之上的，

不是单纯的建立在输入数组之上。

比如输入一个9 1 0 5 4，那么C[i]树状数组的建立是在，

下标 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

数组 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1

现在由于999999999这个数字相对于500000这个数字来说是很大的，

所以如果用数组位存储的话，那么需要999999999的空间来存储输入的数据。

这样是很浪费空间的，题目也是不允许的，所以这里想通过离散化操作，

使得离散化的结果可以更加的密集。

2. 怎么对这个输入的数组进行离散操作？

离散化是一种常用的技巧，有时数据范围太大，可以用来放缩到我们能处理的范围；

因为其中需排序的数的范围0---999 999 999；显然数组不肯能这么大；

而N的最大范围是500 000；故给出的数一定可以与1.。。。N建立一个一一映射；

①当然用map可以建立，效率可能低点；

②这里用一个结构体

struct Node

{

int v,ord;

}p[510000];和一个数组a[510000];

其中v就是原输入的值，ord是下标；然后对结构体按v从小到大排序；

此时，v和结构体的下标就是一个一一对应关系，而且满足原来的大小关系；

for(i=1;i<=N;i++) a[p[i].ord]=i;

然后a数组就存储了原来所有的大小信息；

比如 9 1 0 5 4 ------- 离散后aa数组就是 5 2 1 4 3；

具体的过程可以自己用笔写写就好了。

3. 离散之后，怎么使用离散后的结果数组来进行树状数组操作，计算出逆序数？

如果数据不是很大，可以一个个插入到树状数组中，

每插入一个数，统计比他小的数的个数，

对应的逆序为 i- getsum( aa[i] ),

其中 i 为当前已经插入的数的个数，

getsum( aa[i] ）为比 aa[i] 小的数的个数,

i- sum( aa[i] ) 即比 aa[i] 大的个数，即逆序的个数

但如果数据比较大，就必须采用离散化方法

假设输入的数组是9 1 0 5 4，离散后的结果aa[] = {5,2,1,4,3};

在离散结果中间结果的基础上，那么其计算逆序数的过程是这么一个过程。

1，输入5，调用upDate(5, 1),把第5位设置为1

1 2 3 4 5

0 0 0 0 1

计算1-5上比5小的数字存在么？这里用到了树状数组的getSum（5） = 1操作，

现在用输入的下标1 - getSum(5) = 0 就可以得到对于5的逆序数为0。

2. 输入2，调用upDate(2, 1),把第2位设置为1

1 2 3 4 5

0 1 0 0 1

计算1-2上比2小的数字存在么？这里用到了树状数组的getSum（2） = 1操作，

现在用输入的下标2 - getSum(2) = 1 就可以得到对于2的逆序数为1。

3. 输入1，调用upDate(1, 1),把第1位设置为1

1 2 3 4 5

1 1 0 0 1

计算1-1上比1小的数字存在么？这里用到了树状数组的getSum（1） = 1操作，

现在用输入的下标 3 - getSum(1) = 2 就可以得到对于1的逆序数为2。

4. 输入4，调用upDate(4, 1),把第5位设置为1

1 2 3 4 5

1 1 0 1 1

计算1-4上比4小的数字存在么？这里用到了树状数组的getSum（4） = 3操作，

现在用输入的下标4 - getSum(4) = 1 就可以得到对于4的逆序数为1。

5. 输入3，调用upDate(3, 1),把第3位设置为1

1 2 3 4 5

1 1 1 1 1

计算1-3上比3小的数字存在么？这里用到了树状数组的getSum（3） = 3操作，

现在用输入的下标5 - getSum(3) = 2 就可以得到对于3的逆序数为2。

6. 0+1+2+1+2 = 6 这就是最后的逆序数

分析一下时间复杂度，首先用到快速排序，时间复杂度为O(NlogN),

后面是循环插入每一个数字，每次插入一个数字，分别调用一次upData()和getSum()

外循环N, upData()和getSum()时间O(logN) => 时间复杂度还是O(NlogN).

最后总的还是O(NlogN).

ac代码

#include<stdio.h>#include<string.h>#include<stdlib.h>struct s{int v,f;}b[500050];int aa[500050],c[500050],n;int cmp(const void *a,const void *b){return (*(struct s *)a).v-(*(struct s *)b).v;}int low(int x){return x&(-x);}void updata(int p,int q){while(p<=n){c[p]+=q;p+=low(p);}}int sum(int p){int ans=0;while(p>0){ans+=c[p];p-=low(p);}return ans;}int main(){//int n;while(scanf("%d",&n)!=EOF,n){int i;__int64 ans=0;for(i=1;i<=n;i++){scanf("%d",&b[i].v);b[i].f=i;}qsort(b+1,n,sizeof(b[1]),cmp);for(i=1;i<=n;i++)aa[b[i].f]=i;memset(c,0,sizeof(c));for(i=1;i<=n;i++){updata(aa[i],1);ans+=i-sum(aa[i]);}printf("%I64d\n",ans);}}

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