卅三先生的工程电磁场讲座.EEm05——边界条件001

一、基础知识

        边界条件主要是分析在分界面上（导体与电介质的分界面、不同电介质的分界面）需要满足的条件。在本讲座中，我们分析的电介质都是各向同性的线性电介质，也即在各个方向介电常数相同，且与电场强度成比例。

熟悉边界条件可以为分析实际问题时提供很多便利，而分析边界条件本身也是对又有电磁学知识的一次梳理。在这里我们主要用到了两点：

A. 电场是保守场，即在电场中一个电荷经过一个闭合路径回到起点后，外力不做功。用方程表示即：

B. 高斯定律，即一个穿过一个封闭曲面的电通量等于该曲面所包围的电荷数（准确地说，应该是自由电荷数。若封闭曲面内含有电介质，则D积分后的结果Q，为自由电荷数。即Q=Qt-Qb，其中Qb为电介质由于电场存在而产生的束缚电荷）。

二、导体与电介质分界面的边界条件

首先必须了解一些导体在静电场中的特性：

（1） 导体内部电场为零。

    因为导体的特性就是存在自由电子，如果导体内部存在电场的话，自由电子就会移动，电荷就会重新分布，相应的电场也就会处于变换中。前述的”静“电场的条件就被打破了。等到过了足够长的时间后，电荷重新排布结束，就会发现导体内部电场为零才是最终的稳定状态。

（2） 位于静电场中的导体，其导体内部体电荷密度为零。

   假设导体内的体电荷密度不为零，比如在导体中放入一个自由电子。（1）中已经说明，放入电子前，导体内部电场为零，放入电子后，因为电子本身产生了电场，（1）被打破，所以导体中的电子必然要重新排布，以便重新回到稳定状态。所以最终稳定时导体内部的体电荷密度必为零。

（3）电荷以面电荷的方式存在于导体表面

    在（1）、（2）中均提到了，不稳定状态下，电荷会重新排布，那么最终电子到哪里了呢？答案是，既然不能在导体内部安心待着，那就只能到导体的外表面，形成面电荷了。而且利用下面的方法还可以计算出面电荷的量化数值。

下面结合以上3点以及基础知识中提到的2个公式，我们来做一下定量分析

首先构造一个跨过导体和自由空间边界的闭合曲线abcd，并让h和w都尽可能地小，由于w尽可能地小，所以在a，b两点的E可以视为相等，又因为积分路径相反，积分距离相等，所以E沿bc和da积分的和必然为0。又因为导体内电场强度为零，故cb段积分也为0。结合上述A公式，固有Et=0。  

因为自由空间中D=εE，所以Dt=0； 也即D不存在切向分量！

第二步，构造一个油桶状闭合曲面，因为切方向分量为零，所以不予考虑。而导体内电场为零，也不需要考虑。结合B公式，有。

总结：

对于导体和自由空间的分界面，其边界条件为：

三、不同电介质分界面的边界条件

在分析不同电介质分界面时，也可以用上面使用过的方法，分别构造一个封闭曲线和一个封闭曲面。不同之处在于，应用A公式时，由于两种电介质均存在切向电场，所以我们得到的结论是：，进一步的，我们有：，也即切方向电通量的大小，与对应介质的介电常数成正比。

应用B公式，我们可以得到，只要不是特殊指定，可以认为面电荷密度为0，所以有

总结一下，对于不同电介质的分界面，我们有：

 （C）

   （D）

以上是从切分量和法分量的角度来分析的，如果按照D以及D与平面法方向的夹角来分析，我们有：

看出来没有？是不是和光折射的原理图和相似？电磁学的美就体现在这里！现象和理论如此的一致，从一个角度推算出来的结果，应用到另一个相关领域，一样有效！！

通过（C）和（D），结合上图，我们得到：

 

 

如果有了入射角以及两边的介电常数，在已知E1/D1的情况下，可以轻松求出D2和E2