ZOJ 3822 Domination 概率DP

题意：一个人在N*M的棋盘上随机在没有放棋子的位置放上棋子。求放棋子数目的期望值，使N行和M列每行每列都有一个棋子。

思路：概率DP。

放下一个棋子，我们有四种影响：1.不会增加被覆盖的行和列。2.是被覆盖的行数加1。3.使被覆盖的列数加一。4.使被覆盖的行数和列数分别加1.

这样，我们可以发现，有用的状态是放的棋子的个数，已经被覆盖的行数，已经被覆盖的列数。这样，我们就用dp[i][j][k]来表示，放了i个棋子时，j行被覆盖，k列被覆盖的概率。

转移方程可以直接看代码。

在最后求期望的时候，我们用对应的概率乘以所放棋子的个数。需要非常注意的一点是，我们这里求出的是放了i个棋子时的概率，而对于整个的概率而言，我们要求所有棋子的个数对最终的贡献，所以需要做差。

代码如下：

#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>using namespace std;const int MAX = 51;double dp[MAX * MAX][MAX][MAX];int main(void){    //freopen("input.txt","r",stdin);    int T;    scanf("%d",&T);    while(T--){        int N,M;        scanf("%d%d",&N,&M);        memset(dp,0,sizeof(dp));        dp[0][0][0] = 1.0;        for(int i = 0; i < N * M; ++i){            for(int j = 0; j <= N; ++j){                for(int k = 0; k <= M; ++k){                    dp[i+1][j][k] += dp[i][j][k] * (k * j - i) / (N * M - i);                    dp[i+1][j+1][k] += dp[i][j][k] * k * (N - j) / (M * N - i) ;                    dp[i+1][j][k+1] += dp[i][j][k] * (M - k) * j / (M * N - i) ;                    dp[i+1][j+1][k+1] += dp[i][j][k] * (M - k) * (N - j) / (M * N - i) ;                }            }        }        double ans = 0;        for(int i = 1; i <= M * N; ++i)            ans +=  i * (dp[i][N][M] - dp[i-1][N][M]);        printf("%.12f\n",ans);    }    return 0;}