波利亚《如何解题 How to Solve It》

第一部分 在教室中

第一：必须清楚的看到要求的是什么？了解各个项之间有怎样的联系？未知数和数据之间有什么关系？

问题的主要部分：未知数，已知数，条件

已知数比如长方体的长宽高，未知数比如对角线，条件则是定理。还可以问一个问题：条件是充分的吗？即根据这些条件能求出未知数吗？

第二：为了得到解题思路，应制定一个计划

能否制定计划或者制定的计划是否优秀取决于我们对问题领域知识的了解程度，因此这个阶段比较好的一个做法就是问一下自己：你知道一个于此有关的问题吗？

当然有时候表面与之类似的问题实质却不一定相同，这就需要我们在学习的知识的时候能够抽象出其本质。

如果我们没有想到与之类似的问题，怎么办呢？

这时我们不得不变化，变换，修改该问题，试着重述该问题。改变问题的方法有：普遍化，特殊化，应用类比，舍去一部分条件等。改变问题可能导致提出适当的辅助问题。上面的种种可能使得我们离开问题很远，但是可以通过提问是否已使用了所有条件，是否使用了所有已知数据来把自己带回原处。

第三：实现计划

计划仅给出一个一般性的大纲,我们必须充实细节并耐心地检查每一个细节,直到每一点都完全清楚了,没有任何可能隐藏错误的含糊之处为止。根据“直观”或“形式”上的论证,我们可以使自己相信每一步骤的正确性。我们可以集中力量在有问题的疑点上,直到完全搞清楚,毫不怀疑每一步骤都是正确的为止;或者我们可以根据形式推理的法则推导出有问题的这一点。

第四：回顾所完成的解答，对它进行检查和讨论

可以帮助我们巩固知识和发展解题能力，完成解题后回头看一下每一步都是正确的吗？能否用其他方法验证一下？多问一些问题总是有益的。

第二部分 怎样解题

1. 熟悉问题

2.深入理解问题

先把问题的主要部分剖析出来。因为前提与结论是“求证题”的主要部分。未知、已知与条件是“求解题”的主要部分。再把问题中的主要部分都弄一遍,并且要逐个地考虑,轮流地考虑,而且在各种组合中来考虑,同时把每个细节与其它细节联系起来,把每个细节与整个问题联系起来。

3.探索有益的念头

应该从哪儿开始？ 从考虑问题的主要部分开始.

怎样进行? 从各个方面来考虑你的问题,找出与你现有知识有关之处。

从你现有知识中找出与问题有关之处

4.实现计划

你对问题应抓得很有把握。详细地进行你以前认为可行的全部代数或几何运算。用形式推理或直接观察检查每一步骤的正确性,或者,如果你能够的话, 两种方法都用。如果你的问题很复杂, 你可以分成 “大” 步骤和“小”步骤,每一大步骤又由几个小步骤组成。首先检查大步骤,以后再检验小步骤。

5.回顾

从各个方面考虑这个解,找出与你已有知识之间的联系。考虑解的细节,并尝试使它们尽可能地简单;研究解答中较冗长的部分,使它们更短些;试着一眼就看出整个解。试着去改进解的各部分,尝试去改进整个解,使它直观,使它尽量自然地适合于你已有的知识。总结你解题的方法,尝试看出它的要点,并且尝试把它用于其他问题。总结所得结果并试着把它用于其他的问题。

第三部分 探索法小词典

1.类比

类比就是一种相似。相似的对象在某个方面彼此一致。

比如长方形和长方体的类比。其实在我们的思维、日常谈话、一般结论以及艺术表演方法和最高科学成就中无不充满了类比（可以精确也可以模糊）；求解一个问题时,如果能成功地发现一个比较简单的类比有时可以使问题迎刃而解，比如求均匀四面体的重心；类比有时是对解题方法的类比，有时是对结论的类比；类比也可以很精确，比如数学上的同构，同态，数学归纳法也是一种类比。类比往往能体现数学之美。

类比的范围很广，有时是不同侧面的类比，有时是不同维度的类比，有时是不同领域的类比

2.辅助问题

一只飞虫企图穿过窗户玻璃逃出去,它在同一扇窗户上试了又试,而不去试试附近打开的窗户,而那扇窗户就是它进来的那扇。

例子

1. x⁴ -13x² +36=0

2. 在一长方体中已知由一顶点引出的三个棱的长度,求该长方体的对角线。

如果原问题和辅助问题是等价的,则从原问题过渡到辅助问题称为可逆化归,或双向化归,或等价化归。

对结果的检验

“特殊化”  “量纲检验法”  “如果我们感到需要把整个论证重新逐步检查一遍,我们至少应当改变各步的次序,或者改变它们的分组,以引入某些变化”  “用不同方式导出同一结果”

得到最终结果后又做些什么呢？

采用如“普遍化”, “特殊化”, “类比”,“分解和再组合”等想出一个新问题

对于从已有解的问题导出易解的新问题,这里有个模式;我们设原来未知数为已知,并将原来的已知数之一作为未知数

可以把原问题的某些元素看成变量,用这个办法从原问题导出新问题

你能从已知数据导出某些有用的东西吗？

正推 倒推

你能重新叙述这个问题吗？

你能重新叙述这个问题吗?你能否重述得更不同些?提出这些问题的目的是找出合适的“变型的问题

分解与重新组合

如果你钻到细节中去, 你可能会在细节中迷途

因此,我们首先应当把问题作为一个整体来了解。在弄清了问题之后,我们将处于较有利的地位来判断哪些具体细节可能是最主要的内容。在研究过一两个主要之点以后,我们将会处于更有利的地位来判断还有哪些细节可能值得较细致的研究。让我们进入细节并将问题逐步地加以分解,但不要超过我们所需要的程度。

在把问题作为一个整体加以理解,并了解过其目的,其主要点之后,我们希望开始了解细节。 我们应该从哪儿开始?几乎在所有的情况下, 从考虑问题的主要部分(即,未知数,已知数与条件)开始是合理的。我们要在几乎所有的情况下奉劝读者从下列问题开始详细研究:未知数是什么?已知数是什么?条件是什么?

分解问题以后,我们试用某个新方式重新组合其元素。尤其是,我们可能尝试把问题的元素重新组合成某个新的、更好下手的问题,这个问题我们可能当作一个辅助问题。

以下是个形式上的分类,其中简洁地列出了最普通和最有用的组合。从所提问题构造出一个新问题,我们可以:
(I)保持未知数不变而改变其他(已知数与条件);或者
(II)保持已知数不变而改变其他(未知数与条件);或者
(III)同时改变未知数和已知数。

这里的改变可以是删除或者增加或者变化

例子：已知三角形一边a、垂直于a的高h和a的对角a,作一个三角形。
未知是什么?一个三角形。
已知是什么?两条线段a,h和角alpha。

你是否利用了所有的已知数?

一个陈述完善的而且合理的“求解题”必须具有所有必需的已知数,而没有任何多余的已知数;并且它的条件必须恰好充分,既不矛盾,也不多余。在解决这样一个问题时,我们当然必须利用所有的已知数和整个条件

你知道一个与此有关的问题吗?

这个问题与我们当前的问题通过“普遍化”,“特殊化”或“类比”而发生联系

画张图

检验你的猜测

一个数学例子。在周长一定的所有四边形中找出面积最大的一个。

一个非数学的例子。在某个组字的字谜中,要求我们找出有七个字母的字,关于这个字的线索是:“Do the walls again,back and forth”

普遍化

在求解题中,普遍化可能很有用。我们考虑下列立体几何问题:“给定一直线与一正八面体的位置。求过已知直线并二等分已知八面体体积的平面。”这个问题可能看起来很难,但事实上,稍稍熟悉正八面体的形状就足以提出下列更普遍的问题:“给定一直线与一个具有对称中心的立体的位置。求过已知直线并二等分已知立体体积的平面。”所求的平面当然经过立体的对称中心,所以这个平面应由这点与已知直线所硫定。由于八面体有对称中心,所以我们原来的问题也就迎刃而解了。读者不会看不到第二个问题比第一个更普遍化,但却比第一个容易得多了。事实上,我们解第一个问题的主要成就是创遗了第二个问题。创造第二个问题时, 我们承认了对称中心的作用; 我们把八面体的性质(它对目前这个问题很重要):即它有这样一个中心这个性质剖析出来了。

这里有个与你的问题有关且早已解决的问题

为了看得更清楚,我们把它与利用辅助问题从而解决问题的情况相比较。在这两种情况下,我们的目标都是解决某
个问题A,但我们却引人并考虑另一个问题B,希望它对解题A有利。差别在于对B的关系不同。这里,我们是想到一个老问题B,我们知道它的解但不知道如何利用它。那里,我们是创造了一个新问题B,我们知道(至少是强烈地猜测到)如何利用它,但目前还不知道如何解它。

归纳与数学归纳法

是否知道一个有相同未知数而且早已解决的问题,可能是造成难题和容易题之间全部差别的原因

当阿基米德求球面积时,他并不知道任何有相同未知数而且早已解决的问题。但他却知道各种有相似未知数而早已解决的问题。有些曲面的面积比球面积容易求,它们在阿基米德时代已为人所共知,如正圆柱体的侧面积,正圆锥体的侧面积,圆台的侧面积等等。我们可以肯定,阿基米德曾经仔细地考虑过这些较简单的相似情况。事实上,在其解答中,他利用了一个由两个锥体与若于个圆台所组成的复合体来作为球体的近似

我们回忆具有相同或相似未知数且早已解决的问题(具有相同或相似结论且早已证明的定理),就会有一个好机会沿正确方向开始我们的工作,并且可能设想出一个解题计划。

实际问题

实际问题在许多方面与纯数学问题不同,但求解的中心思想与程序基本上相同。

一个令人印象深刻的实际问题是在河上筑坝。 了解这个问题不需要什么特殊的知识。几乎就在史前时期,远在有科学理论的时期之前,人们就在尼罗河谷以及世界的其他地方建立过某种坝,这些地方的谷物需要灌溉。

让我们想象建筑一个重要的现代堤坝问题。

未知数是什么? 这类问题包含许多未知数:坝的确切位置,它的几何形状和大小,建筑用料等等。

条件是什么? 我们无法用一个短句子回答这个问题,因为有许多条件。在如此庞大的一个项目中,需要满足许多重要的经济要求,并且要尽量不妨碍别的要求。这坝应提供电力,能灌溉,给某城市供水并有助于控制洪水。另一方面,它尽量不妨碍搬运、或有重要经济价值的鱼类、或美丽的风景等等。当然还应该尽量节约,工程进度应尽量快。

已知数据是什么?所需要的数据数量极大。我们需要关于河流及其支流附近地区的地形地貌数据;对基础的坚固性,可能有的渗漏等重要的地质数据,以及可用的建筑材料;关于年降雨量和洪水高度方面的气象数据;关于被淹土地的价值、材料和劳力费用等方面的经济数据,如此等等。

此例说明在实际问题中,未知数、已知数据与条件要比数学问题更复杂并且定义得没那么清楚。

为了解决一个问题,我们需要有一定数量的、以前获得的知识。现代工程师具有大量的高度专门化的知识可加以运用,例如材料强度的科学理论、他本人的经验以及专门技术文献中所贮存的大量工程经验。这里我们不能利用这些专门知识,但我们可以设想一个古代埃及堤坝的建造者在想些什么。他当然看见过各式各样的坝(或许较小):土造的或砖石砌成的防水堤。他看见过挟带各种泥石的洪水向堤岸压来。他可能协助整治过洪水所产生的侵蚀与破损。他可能看见过在洪水冲击下决口的堤坝。他肯定听说过关于经受几世纪考验的堤坝或由于意外决口酿成大祸的故事。在他的脑海中可能已经描绘了一幅河水压迫堤面和内部应力应变的情景。然而埃及堤坝建造者并没有关于流体压力或固体内部应力应变方面的精
确定量的科学概念。这些概念是现代工程师的知识库中的主要部分。后者还使用了不少尚未完全臻于精确科学水平的知识;他所知道的关于流水侵蚀、淤泥流迂、某些材料的弹塑性以及其他尚未弄清的特性方面的知识,就是这样一种
带有经验性的知识。上述例子表明,在实际问题中所需要的知识和所使用的概念比在数学问题中更复杂,定义得也不那么清楚。

在实际问题中,未知数、已知数据、条件、概念、所需要的预备知识,每一项都比纯粹数学问题更复杂,更不清楚。这是重要的差别,或许是主要的差别,并且它肯定还包含更多的差别;但对于这两类问题来说,求解的基本中心思想与程序看来却是相同的。

你是否已将问题包含的所有必要的概念都考虑在内?对于各类问题来说,这都是个很好的问题。但它的应用,随着所涉及的概念性质而变化很大。

在一个陈述的数学问题中,所有已知数据与有关条件的所有条款都是必不可少的,从而必须加以考虑。在实际问题中,我们有大量的已知数据与条件;我们力求尽可能多地加以考虑,但我们却不得不忽略一部分。就拿大坝设计者为例来说吧,他考虑了公众的利益和重大的经济利益,但他不得不舍去次要的要求与损害。严格说来,他问题中的已知数据是数不胜数的。例如,他可能愿意多了解一些地基的地质性质,但他最后毕竟必须停止收集地质数据,虽然不可避免地仍然有一些不清楚的地方。

你是否利用了所有的已知数据?你是否利用了整个条件?当我们处理纯数学问题时,我们不能放过这些问题。但在实际问题中,我们应当改变这些问题的形式:你是否利用了可能对求解有显著作用的所有数据?你是否利用了可能对求解显著影响的全部条件?我们估量一下现成可用的有关资料,如果必要的话,我们再去收集一些,但最终我们必定要停止收集,我们必会在某处划地为界不再越雷池一步,我们不能不忽略某些东西

谜语

P84

归谬法与间接证明

归谬法是利用导出一个明显的谬误来证明假设不成立。归谬法是个数学过程,但它和讽刺家所爱好的做法——反话,却有几分相似。

间接证明是通过证明相反的假设不成立来证明某个推断成立。因此间接证明与政客用败坏对手声誉的办法来建立自己候选人威信的诡计有几分相似。

(1)归谬法。在0,1...,9这10个数字中,每个都要用一次且只允许用一次,写出几个数使得其和数恰为l00。在尝试解决这个谜语时,我们会学到一些东西,但谜语的叙述还需要某些说明。未知数是什么?一组数字;当然,这里数的意思是指普通整数。给定的巳知数是什么!数100。条件是什么?条件有两部分。首先,写这组数时,我们必须使用0,1,...9这十个数字中的每一个,而且每个数字只能用一次。其次,这组数之和必须为100。仅仅保持条件的一部分,舍去其余部分。单独第一部分容易满足。例如这组数19,28,37,46,50,每个数字仅出现一次。当然,条件的第二部分并未满足;其和为180,而不是100。但是我们可以做得更好些。“试试,再试试。”好,19+28+30+7+6+5+4=99条件的第一部分满足,第二部分差一点满足;但我们得到的是99,还不是100。当然,如果我们舍去条件的第一部分,则很容易满足第二部分:19+28+3l+7+6+5+4=100
但这不满足条件的第一部分:数字1出现了两次,而0根本不出现;其他数字则全都对头。“试试,再试试”。然而,在几次试验都不成功之后,我们可能产生了怀疑:按照所要求的方式是否不可能得到100?终于涌现了下述问题:证明所提条件的两个部分不可能同时满足。
即使是十分优秀的学生也可能感到这个问题超出了他们力所能及的范围。但如果我们有正确的态度,并不难回答。我们必须检验一下“能同时满足此条件的两部分”这一假想情况。我们猜测这种情况实际上不会发生,而我们的猜疑,基于我们屡试不成的经验,是有某些根据的。无论如何,让我们虚心地正视这种所谓条件两部分均能得到满足的假想的、想象的、宣称而未得到证实的情况。我们想象有一组数,其和为100。它们必定是一些有一位或两位数字的数。 我们这里有十个数字0, 1,2,......,9,由于题中规定每个数字正好只出现一次,所以它们彼此不相同。于是,这10个数字之和为
O+l+2+3+4+5+6+7+8+9=45
这些数字,有的用来表示个位数,有的用来表示十位数。稍具头脑就会想起这个念头,即,表示十位数的数字之和可能有某种重要性。事实上,t表示此数字和,则其余数字表示个位数,其和为45-t。因此,这组数之和必为
10t+(45一t)=100
这是个确定t的方程。它是个一次方程,可求得
t=55/9
现在,肯定有某种错误。所得t值竟不是整数,而t当然应该是整数。我们假定所给条件的两个部分能同时满足,从这一假定出发,我们已经导出了明显的谬误。如何解释这一点呢?我们原先的假定一定是错误的;即条件的两部分不能同时得到满足。于是我们达到了我们的目的:我们已经成功地证明了所提条件的两个部分是不相容的。
上述论证是典型的“归谬法”。

改造一个间接证明

仔细地重新考虑我们所做过的分析,我们可能会找到与任何虚假的假设无关的元素,但若对原问题本身的含义重靳加以考虑,则会得到最好的线索。

我们说质数序列永不终止,其含义是什么?显然,就是以下这点:当我们已经确定任何一组有限的质数集合,如2,3,5,7,11,......,P,其中P是迄今所找到的最后一个质数,则总还有另一个质数存在。这样,为了证明质数有无穷多, 我们必须做什么?我们必须指出找到一个新质数的方法,这个新质数不同于迄今所找到的所有质数。于是,我们的“求证题”就化成一个“求解题”:给定质数2,3,5,......,P,求一个新质数 N与所有给定质数不同。既然已经用这种新形式重新叙述了我们原来的问题,我们就已经跨出了关键的一步。现在就比较容易看出怎样把我们上述论证用于新目的。事实上,数Q=(2·3·5·7·1l......P)+1肯定可被一质数除尽。让我们取——这就是主意——Q的任何质数除数(例如最小的一个)为N(当然,如果Q恰为一个质数,则N=Q)。 显然, Q除以质数2, 3, 5, ......P中的任何一个都将剩下余数1,因此,这些数中的任何一个都不会是 N,即不会是Q的除数。但这就是我们全部所需要的:N是一个质数并且它和我们迄今所找到的质2,3,5,7,11,......, P不同。

这个证明给出一个无限延长质数序列的确定性过程。其中没有什么是间接的,也不需要考虑不可能的情况。但它基本上与我们前面的间接证明相同,我们已经成功地把间接证明改造了。

求证题与求解题之间的相互转化

特殊化

对称

量纲检验

倒着干

还有很重要的一点就是平时学习过程中必须善于总结，涉及到一个问题时，必须能够想到所有与之有关的定理等，以便借助它们建立关系，进行求解。