HDU2050 折线分割平面 动态规划

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2050 

分析：首先我们来看一直线分割平面，直线分割平面时，每增加n个结点，就会增加n+1个平面，我们用f（n）来表示n条直线最多分割出的平面数，那么就有f（n）=f（n-1）+n；其中f（1）=2；即每新加一条直线，都使他和原先所有的直线都有交点，原先有n-1条直线，那么新加一条直线后，就会多出n-1+1即n个平面。或者我们也可以这样理解：当有n-1条直线时，平面最多被分成了f（n-1）个区域。则第n条直线要是切成的区域数最多，就必须与每条直线相交且不能有同一交点。这样就会得到n-1个交点。这些交点将第n条直线分为2条射线和n-2条线段。而每条射线和线段将以有的区域一分为二。这样就多出了2+（n-2）即n个区域。通向公式为f（n）=n(n+1)/2+1。

    现在我们来考虑折线的情况，每加一条折线，就增加了两条相交的直线，当画第n条折线时，前面已经存在n-1条折线（即2n-2条直线）了，第n条折线包含的这两条直线分别和前面2n-2条直线相交，然后这两条直线还有一个交点，交点数再加上1，然而，我们注意到，在折线上的这个交点并不会使分割的平面数变化，所以这个交点不能算进去。那么最后就有f（n）=f（n-1）+2*（2n-2）+1=f（n-1）+4n-3；进一步求得通项公式：f（n）=2*n*n-n+1。或者末尾这样理解：当n-1条折线时，区域数为f（n-1）。为了使增加的区域最多，则折线的两边的线段要和n-1条折线的边，即2*（n-1）条线段相交。那么新增的线段数为4*（n-1），射线数为2。但要注意的是，折线本身相邻的两线段只能增加一个区域。

递推实现代码如下：

#include <cstdio>#include <iostream>using namespace std;int main(){    int f[10001];    int t,n,i;    f[1]=2;    for(i=2;i<=10000;i++)      f[i]=f[i-1]+4*i-3;    cin>>t;    while(t--)    {        scanf("%d",&n);        printf("%d\n",f[n]);    }    return 0;}

通向公式实现代码如下：

#include <cstdio>#include <iostream>using namespace std;int main(){    int t,n;    cin>>t;    while(t--)    {        scanf("%d",&n);        printf("%d\n",2*n*n-n+1);    }    return 0;}

类似的，对于封闭图形分割平面和平面分割空间的情况，我们可以参考下面的链接：

http://blog.csdn.net/ac_gibson/article/details/46351673