再论有限元方法

Banach 空间，由一组线性完备基函数撑起（span)的空间, 各个基线性独立。线性独立的基向量个数，即该空间的纬度，亦即该空间内任一点（广义上讲，Banach空间里一个点对应一个函数）可由这一组基完全描述；

Hilbert空间，上述各个线性独立的基向量相互正交，正交通过内积定义。故Hilbert空间也被称为内积空间。

        注意，线性独立不同于正交。 正交是更紧致的约束。数学上有个过程叫“施密特正交化“，可以理解。线性独立，在高纬空间内，仍然会呈现相关性，即各个基函数（基向量）越靠越近，这样基函数的性质也就越来越差；而正交化的效果，就能维持基函数的代表性。 

Sobolev空间，定义了distributional derivative（函数积分再求导）有界的一类Banach空间。

有限元方法，即求能量范函的极值。因为能量范函的二次性和正定性，保证取最小值。同时，由于物理系统的能量有界性，我们可以将能量范函定义在2-范数的Sobolev空间。进一步，缩小范围，我们定义2－范数的内积空间，这样构造的行函数不仅2-范数有界，而且正交，此即常见的有限元近似方法。

         从范函上讲，有限元近似源自Ritz方法，Ritz方法构造了2-范数Sobolev空间的基；在全域构造正交化的Ritz基函数即谱－有限元方法。另外一个思路，是在单元内构造正交基函数，即当下的有限元法。Garlekin 方法是将试探函数，行函数都定义在同一个2-范数内积空间里。

          ps, 现在工程研究的几大热点：opt, stochastic, numerical pde, 都可以来自范函。opt的一个基本观点就是范函的 projection theorem， 该原理指出最小误差（最优解）即精确解在近似解空间最大投影。另外，stochastic问题不过是结合了随机变量描述的pde。