最长公共子序列（LCS）

参考：

http://blog.chinaunix.net/uid-26548237-id-3374211.html

http://www.ahathinking.com/archives/115.html

http://blog.csdn.net/v_july_v/article/details/6695482

最长公共子串（Longest Common Substirng）和最长公共子序列（Longest Common Subsequence，LCS）的区别为：子串是串的一个连续的部分，子序列则是从不改变序列的顺序，而从序列中去掉任意的元素而获得新的序列；也就是说，子串中字符的位置必须是连续的，子序列则可以不必连续。

<pre name="code" class="cpp">//只能打印一个最长公共子序列#include <iostream>using namespace std;const int X = 100, Y = 100;        //串的最大长度char result[X+1];                    //用于保存结果int count=0;                        //用于保存公共最长公共子序列的个数/*功能：计算最优值*参数：*        x:字符串x*        y:字符串y*        b:标志数组*        xlen:字符串x的长度*        ylen:字符串y的长度*返回值：最长公共子序列的长度**/int Lcs_Length(string x, string y, int b[][Y+1],int xlen,int ylen) {int i = 0;int j = 0;int c[X+1][Y+1];//为什么矩阵c行数为X+1，列数为Ｙ＋１，就是为了避免讨论边界情况for (i = 0; i<=xlen; i++) {c[i][0]=0;} for (i = 0; i <= ylen; i++ ) {c[0][i]=0;}for (i = 1; i <= xlen; i++) //这里i，j从1开始取就避免了讨论边界的特殊情况{for (j = 1; j <= ylen; j++) {if (x[i - 1] == y[j - 1]){c[i][j] = c[i-1][j-1]+1; b[i][j] = 1;//1标记按对角线移动}else if (c[i-1][j] > c[i][j-1]) {c[i][j] = c[i-1][j]; b[i][j] = 2;//标记向上移动}else {c[i][j] = c[i][j-1]; b[i][j] = 3;//标记向左移动}}}cout << "计算最优值效果图如下所示：" << endl;for(i = 1; i <= xlen; i++){for(j = 1; j <= ylen; j++){cout << c[i][j] << " ";}cout << endl;}return c[xlen][ylen];//返回最终计算出的最长子序列的长度}void Display_Lcs(int i, int j, string x, int b[][Y+1],int current_Len){if (i ==0 || j==0) //这里i,j分别对应的是xlen，ylen{return;}if(b[i][j]== 1) { current_Len--;result[current_Len]=x[i- 1];//把最长子序列保存到result数组中，因为是从后往前保存的所以保存到result中也是从后往前保存的Display_Lcs(i-1, j-1, x, b, current_Len);}else if(b[i][j] == 2) {Display_Lcs(i-1, j, x, b, current_Len);}else {Display_Lcs(i, j-1, x, b, current_Len);}}//也可以不用递归方法，来打印出最长子序列void Display_Lcs2(int i,int j,string x,int b[][Y+1],int current_Len){while(i&&j)//注意这里要进行i、j的边界检测{if(b[i][j]== 1) { current_Len--;result[current_Len]=x[i- 1];//把最长子序列保存到result数组中，因为是从后往前保存的所以保存到result中也是从后往前保存的i--;j--;}else if(b[i][j] == 2) {i--;}else {j--;}}}int main(int argc, char* argv[]){ string x = "ABCBDAB";     string y = "BDCABA";int xlen = x.length();int ylen = y.length();int b[X + 1][Y + 1];int lcs_max_len = Lcs_Length( x, y, b, xlen,ylen );cout <<"最长公共子序列的长度: "<< lcs_max_len << endl;Display_Lcs2( xlen, ylen, x, b, lcs_max_len );//打印结果如下所示cout<< "最长公共子序列: ";for(int i = 0; i < lcs_max_len; i++){cout <<result[i];}cout << endl;return 0;}

在LCS问题中，如果仅仅要求求出LCS的长度，而不要求输出序列，那么由于每步迭代都只用到了前面的状态，之前的信息便无用了，我们就可以使用滚动数组了

#include <iostream>using namespace std; /* 滚动数组 */ int dp[2][21];  //存储LCS长度，这里用两行就足够了，不停的在两行之间翻转0.char X[21];char Y[21];int i, j, k; void main(){    cin.getline(X,20);    cin.getline(Y,20);     int xlen = strlen(X);    int ylen = strlen(Y);     for(i = 1; i <= xlen; ++i)    {        k = i & 1;//这里做位与运算，便于翻转k        for(j = 1; j <= ylen; ++j)        {            if(X[i-1] == Y[j-1])            {                dp[k][j] = dp[k^1][j-1] + 1;//k与1做异或运算调整行号，dp[k]与dp[k^1]则分别在不同行            }else if(dp[k][j-1] > dp[k^1][j])            {                dp[k][j] = dp[k][j-1];            }else            {                dp[k][j] = dp[k^1][j];            }        }    }    printf("len of LCS is: %d\n", dp[k][ylen]);}