读背包九讲之二——完全背包

没想到完全背包还有如此神奇的写法。学习了。

还了解了和快速求幂类似的二进制思想。

对于为什么完全背包能够这样直接从s[i][1]到v遍历可行并且必须这样，可以从两个层面理解。一是从抽象的概念角度，也就是文章里所说的，对于状态dp[j],由于可能多次取到同一个物品，所以从已经遍历的方向向未遍历的方向遍历是正确的，并且只有以这个方向遍历才是正确的。而是从具体的代码执行流程考虑，假设dp[j]第一次取到了物品i，当j，也就是背包容量增加到j+s[i][1]时，由于可以比较此时的dp[j']与dp[j]+s[i][0],故仍有可能再次取到第i个物品。

实在是妙，太妙了，让我自己是怎么都无法想像还能这样解决完全背包问题，关键是自己习惯并且只会进行形象思维，严密的逻辑思维是在太缺乏了。这种解法所蕴含的思维方式，其实是多么自然多么强大啊。

例题做的poj1384，这里还涉及另一个问题，背包状态的初始化，这里要求背包装满，于是未装满的背包的价值是未定义的，不合理的，于是用-1来标记。具体的处理就是，只有合理的背包才参与选择。

#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>using namespace std;const int MAXN=510,MAXV=10005;int dp[MAXV],s[MAXN][2];int main(){    int T,a,b,n,v;    scanf("%d",&T);    while(T--){        scanf("%d %d",&a,&b);        v=b-a;        dp[0]=0;        for(int i=1;i<=v;i++)            dp[i]=-1;        scanf("%d",&n);        for(int i=1;i<=n;i++)            scanf("%d %d",&s[i][0],&s[i][1]);        for(int i=1;i<=n;i++){            for(int j=s[i][1];j<=v;j++){                if(dp[j-s[i][1]]>=0&&dp[j]>0)                    dp[j]=min(dp[j],dp[j-s[i][1]]+s[i][0]);                else if(dp[j-s[i][1]]>=0)                    dp[j]=dp[j-s[i][1]]+s[i][0];            }        }        if(dp[v]>0)            printf("The minimum amount of money in the piggy-bank is %d.\n",dp[v]);        else            printf("This is impossible.\n");    }    return 0;}