最小表示法

http://blog.csdn.net/runninghui/article/details/11694089

“最小表示法”思想在字符串循环同构问题中的应用（摘自周源的ppt）

前言：

“最小表示法”比起动态规划、贪心等思想，在当今竞赛中似乎并不是很常见。但是在解决判断“同构”一类问题中却起着重要的作用。

本文即将讨论字符串中的同构问题，如何巧妙地运用最小表示法来解题呢，让我们继续一起思考吧。

到底什么是循环同构的字符串呢？

直接举个例子：

比如 str1 = "abdea"  而字符串str2是str1从第i(i>0)个开始将str1从i循环到末尾再从头开始循环到i，那么这两个字符串就是循环同构的.比如str2 = "deaab";

那么什么是字符串的最小表示呢？

比如上面那个str1，就是从str1的同构字符串中字典序最小的,那么str1的最小表示就是"aabde".

如何得到一个字符串的最小表示？

 

设函数M(s)返回值意义为：

从s的第M(s)个字符引起的s的一个循环表示是s的最小表示。

若有多个值，则返回最小的一个

比如M("bbbaab") =  4; 也就是最小表示为aabbbb，是从字符串"bbbaab"的第4个的字符开始的同构字符串。

现在换一种思路：

设有字符串s1,s2

设u=s1+s1(也就是将s1复制一份到s1后面)，w=s2+s2并设指针i,j指向u,w第一个字符

如果s1和s2是循环同构的，那么当i,j分别指向M(s1),M(s2)时，一定可以得到u[i→i+|s1|-1]=w[j→j+|s2|-1]，迅速输出正确解。

同样s1和s2循环同构时，当i,j分别满足

i≤M(s1),j≤M(s2)时，

两指针仍有机会达到i=M(s1),j=M(s2)这个状态。

问题转化成，两指针分别向后滑动比较，如果比较失败，如何正确的滑动指针，新指针i’,j’仍然满足

i’≤M(s1),j’≤M(s2)

设指针i,j分别向后滑动k个位置后比较失败(k≥0)，即有

u[i+k]≠w[j+k]

设u[i+k]>w[j+k]，同理可以讨论u[i+k]<w[j+k]的情况。

因为u[x]在u[i]后(x-i)个位置，

对应的可以找到在w[j]后(x-i)个位置的w[j+(x-i)]，

同样对应的有u[x+1]和w[j+(x+1-i)]，u[x+2]和w[j+(x+2)-i]，

直到u[i+k-1]和w[j+k-1]。

它们都是相等的，

即有u[x→i+k-1]=w[j+(x-i)→j+k-1]。

 、

很容易就得到u[x→i+k]>w[j+(x-i)→j+k]。

所以s1(x-1)不可能是s1的最小表示！

因此M(s1)>i+k，

指针i滑到u[i+k+1]处仍可以保证小于等于M(s1)！

 

 

同理，当u[i+k]<w[j+k]的时候，可以将指针j滑到w[j+k+1]处！

也就是说，两指针向后滑动比较失败以后，

指向较大字符的指针向后滑动k+1个位置。

举例：

设s1=‘babba’，s2=‘bbaba’。（两个同构字符串）

u=s1+s1='babbababba'  w=s2+s2='bbababbaba'

初始化i=0,j=0,k=0;(i作为u的指针，j作为w的指针)              

比较失败时k=1 (u[i+k]!=w[j+k]

由于u[i+k]<w[j+k]  所以j=j+k+1;

j = 2 i不变(i=0); k=0

继续比较发现当k=0时u[i+k]>w[j+k],所以i=i+k+1;

i=1,j不变(j=2);k=0;

继续比较，发现当k=2时u[i+k]>w[j+k]所以i = i+k+1;

i =  4j不变（j=2）k=0;

继续比较，这个时候就找到了最小表示ababb

下面是自己的理解：

把一个长为len的字符串围成一个圈，然后以任意一个字符作为起点，都会产生一个新的长为len的字符串，字符串的最小表示就是所有新字符串中字典序最小的那个。其返回值为字典序最小的串的在原串中的起始位置。基本想法就是两个位置的字符比较，如果s[i+k] > s[j+k]那么i到i+k位置都不是最小表示的位置，所以i直接跳k+1步，反之j直接跳k+1步。

改进的代码：

Code：

int min_sub(string str){    int i = 0, j = 1, k = 0, len = str.length();//取两个同构的字符串一个从下标0开始，一个从下标1开始    while(i<len && j<len && k<len)//这里并没有将字符串复制一份添加到后面    {        if(k == len) break;//说明找到了a的最小表示        if(i==j) j++;        int p1=i+k>=len?i+k-len:i+k;//就是回到字符串的开始去        int p2=j+k>=len?j+k-len:j+k;        if(str[p1] > str[p2]) i+=k+1,k = 0;//大于的话,str[i]为首的肯定不是最小表示,最大表示就改<        if(str[p2] > str[p1]) j+=k+1,k = 0;//小于的话,str[i]为首的肯定不是最小表示,最大表示就改>        if(str[p1] == str[p2]) k++;//相等的话,检测长度加1    }    return i;//返回从第i个字符开始时str的最小表示}