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基于连通性的定位
摘要
在通讯网络中获知节点的地理位置是非常有用的,但在每个节点安装GPS接受器或其它高级的传感器的代价非常昂贵。我们在这里介绍一个应用连通性信息的算法来获得节点在网络中的定位，这个算法在连通性信息的范围之内。这个方法可以利用附加信息，如某些可以获得的相邻锚点之间的估计距离或已知位置。这个算法基于多维定标，即一个把n个节点的网络O（n3）次的数据分析方法。通过模拟研究，我们发现这个算法比先前的研究更能有力地测量误差，尤其在节点在平面中是相对统一的时候。此外，获得同样的结果这个算法比先前的方法使用的锚点要少，甚至在没有锚点的时候产生相对坐标。
分类和主体描述
C.2.3[计算机系统组织]：网络操作
总括
算法，性能
关键词
位置估计，节点定位，多向法，多维定标，ad-hoc网络，传感器网络
1． 导言
具有上百甚至上千个很小的、电池供电且无线连接的传感器和驱动器节点
的大规模的网络正在逐渐成为现实。[5]例如，未来的传感器网络将包括大量的在物理空间深度展开的传感节点。尤其这些节点是典型的资源受限的（处理器，存储器和能源），通讯范围有限，容易失效，并集中处于ad-hoc网络中.
假定有一个分散在一栋大的建筑物或大的地方（如森林）中的传感网络。这样的网络的主要任务是把信息传送到一个已知位置的节点（不知道那个位置是哪个节点或节点群，或怎么到达那个位置），找回在给定区域的节点的传感数据（例如声音或温度），并找出已知范围内的含有传感数据的节点。这些任务大多需要知道节点的位置，或它们之间的相对位置。在一个含有上千个节点的网络中预先获知每个节点的位置是不可能的。可以在节点安装全球定位系统（GPS）来获得绝对位置，但现在这个解决方案的代价比较高。
在这篇文章里，我们提出一个根据可以获得的基本信息计算节点的位置的方法，也就是说，这些节点在其它节点的通讯范围之内。这个方法MDS-MAP有三个步骤。从已知的网络连通性信息开始，我们先用计算任两点间最短路径的方法大概估计每个可能的节点对之间的距离。然后我们使用多维定标（MDS）---一种来自数学心理学的方法，来获得符合这些估计距离的节点位置。最后，我们考虑到所有已知位置的节点来归一所得坐标。
我们将要说明的是，这个简单的技术通常比现在已有技术要好。此外，它只需要连通性信息就能产生所需结果。如果可以估计相邻节点间的距离，在算法的第一步中计算任两点间的最短路径就会简单得多。MDS产生的坐标提供最符合估计的两点间的距离，但是它需要自由旋转和转换。如果坐标上所有的节点都是已知的，它们可以用来获得MDS坐标的映射变换，来与已知位置达到最佳匹配。获得网络中所有节点的绝对位置只需要这三个“锚点”。
这篇文章的下一部分详细地描述了MDS-MAP。然后我们将在提出我们的经验评估前大概回顾一下先前的研究。我们的说明集中在算法的核心部分，尽管我们将大概提到计算是如何进行的。我们将在含有100到200个节点的网络中检验MDS-MAP的性能，节点的位置是随机的或按照常规的栅格或六角布局获得的。我们考虑到多种节点的密度（每个通讯半径上的节点数）和使用相邻的节点间的估计距离的多种测距误差。我们将看到MDS-MAP能使用更少的信息获得更精确的节点定位图。
2． 使用MDS-MAP定位
我们考虑到两种不同方案中的节点定位问题。在第一种方案中，只有邻近性（或连通性）信息是已知的。只知道每个节点的相邻节点是什么，这大概是根据一些地方通讯渠道的方式获得的，如无线电或声音，但是不知道这些邻近的节点距离多远或在什么位置。在第二种方案中，这邻近性信息因为已知距离而有所加强，可能这些距离的精确性是有限的。
在这两种情况下，网络定义为以V为顶点，E为边的无向图。这些顶点对应于m≥0的位置已知的特殊节点，也就是我们所说的锚点。对于只有邻近性的方案，图中的边对应于连通性信息。在已知相邻的点的距离的方案中，边和估计距离的数值相关。我们假设在定位问题中的连接图中的所有的节点都被考虑到，也就是在每两个节点中都有路径。
在解决定位问题的过程中有两个可能的结果。一个是相对图，另外一个是绝对图。寻找一个相对图的任务是寻找一个在与实际网络中相同的邻近关系产生的两维或者三维空间中的节点的嵌套。这个相对图能提供精确和有用的信息，尽管它没有必要包含每个节点的精确绝对坐标。相对信息可能是在不能安装耗能的传感器或昂贵的设施，或者没有足够的锚点来唯一确定节点的绝对位置。此外，一些应用只需要节点的相对位置，如在一些基于方向的路由算法中。尽管如此，有时也需要绝对图。寻求一个绝对图的任务是确定所有节点的绝对地理坐标。这个在基于地理位置的路由和靶点发现和追踪等应用中是必需的。
我们在下面将指出，我们的方法可能取得两种结果，这取决于锚点的数量。这个方法首先产生一个网络的相对图然后再有足够锚点的情况下转化为绝对位置。在我们详细描述我们的方法之前，我们首先介绍多维定标（MDS），主要是经典MDS算法，用来产生相对图。
2.1 多维定标（MDS）
假设有一小片含有有色水珠的悬浮在空中的云。为了描述排列，应该测量每一对水珠间的直线距离。如果云被粉碎然后水珠落到地上，可以试想试图依据记录的点之间的距离来获得排列。或许可以试图确定每个水珠的位置以使得新排列中的距离满足所需距离。这个回归过程就是多维定标（MDS）解决的问题。直观地说，很清楚当O（n2）距离足够确定O（n）坐标的时候，MDS的结果将是原始结果的自由旋转或翻转的版本，因为点之间的距离不参照任何绝对坐标。
MDS源于心理测验学和精神物理学。它可以被看作是一套根据距离类似的数据得出几何图的数据分析技术。MDS从一个或多个距离矩阵（或类似矩阵）开始，这些矩阵被认为是从多维空间中的点获得。它通常被用来发现低维空间，通常是二维或三维空间的点的布置，在这里点之间的距离与原始的类似距离相似。MDS通常被作为探索性数据分析的一部分或信息显现。通过把物体看成在低维空间里的点，在保存必须信息的时候原始数据矩阵的复杂性通常降低。MDS与主成分分析紧密相关，也和因子分析和聚合分析相关。
MDS技术有很多种，可以依据相似性数据是被定性（非度量MDS）或量化（度量MDS）对其进行分类，也可以按照相似性矩阵和MDS模型的性质分类，经典MDS使用一个矩阵。复MDS使用很多矩阵，代表从很多种主体或在不同的条件下获得的测量距离。加权MDS使用一个给每个维指定不同权重的距离模型。最后，还有确定性MDS和可能性MDS的区别。在确定MDS中每个物体表现为多维空间中的一个点，而在可能性MDS中每个物体表现为在整个空间的可能性分配。
在这篇文章中我们集中讨论经典的度量MDS。经典度量MDS是MDS最简单的个案：数据被量化，物体的邻近性被表现为欧几里得空间的距离[15]。度量MDS的目的是找到在多维空间的点的构造，从而点之间的距离和通过转化（例如线性转化）获得的邻近性相关。如果在欧几里得空间里测得的邻近性数据没有误差，经典度量MDS可以准确获得点的构造。实际上，由于解决方法的超定性该技术容错性很强。因为经典度量MDS有一个闭式结局方法，它可以被有效用于大矩阵。
用pij代表物体i和j之间的邻近性度量。在一个m维空间中的欧几里得距离在两个点Xi=(xi1, xi2,… xim)和Xj=（xj1, xj2,…xjm）的距离是当几何模型能很好得适合邻近性数据时，欧几里得距离和通过 =f(pij)转化的邻近性相关。在经典度量MDS中，假定有一个线性转化模型，如 =a+bpij.确定距离D从而使他们尽可能的接近邻近性P。有很多方法可以定义“接近”。一个通常的方法是度量MDS中使用的一个最小二乘定义。在这种情况下我们定义I（P）=D+E在这里I（P）是邻近性的线性转化，E是误差（残差）的矩阵。由于D是坐标X的一个函数，经典度量MDS的目的是计算X，从而得到E的平方和的最小值，符合X的归一。在经典度量MDS中，P被居中，坐标X可以通过奇异值分析（SVD）计算双中心P得到。对于一个n×n P矩阵对于n个点和每个点的m维，可以看出左右边的双中心矩阵（称为B），是对称且半正定的。通过奇异值分析B得到B=V AV。坐标矩阵变为X=VA1/2。保留第一个r的最大本征值和特征向量（r<m）是低维中的解决方法。这包括在Eq中加和k。（1）是从1到r而不是m。这是最小二乘法最佳低级近似值。例如对于一个二维网络，我们通过前两个最大本征值和特征向量来构造最佳二维近似值。对于一个三维网络，我们通过前三个最大本征值和特征向量来构造最佳三维近似值。
在无度量（顺序）MDS（首先由Shepard[14]提出）中，目的是建立点与点之间的距离和理想距离的单调关系。如果解决方案中的点与点的距离与输入矩阵中的相对距离的等级顺序相同就达到目的，而不是试图直接与已知距离相匹配。单调MDS的优势是不需要有根本转化功能的假设。唯一的假设是数据是按顺序统计的。作为经典MDS，单调MDS也可以应用于定位问题。通过采用一个更灵活的模型，可以很容易地避免一些高度不准确的测量。
2.2 MDSMAP算法
基于经典MDS，我们的方法，也就是MDS-MAP包括三个步骤：
1． 计算在考虑的范围内的所有点的两点之间的最短距离。最短距离用来构造MDS的距离矩阵。
2． 应用经典MDS来处理距离矩阵，保留前2（或3）位最大本征值和特征向量来构造二维（或三维）相关图。
3． 提供足够多的锚点（对于二维空间3或更多，对于三维空间4或更多），基于锚点的绝对位置把相对图转化为绝对图。
在步骤1中，我们先指定到连通性图中的边的距离。当相邻的两个节点之间的距离是已知的时候，相应边的值是测量距离。当我们只有连通性信息，可以指定所有边的值都为1。然后可以使用经典的计算任两点间最短距离的算法，如Dijkstra和Floyd算法。时间复杂度是O（n3）,其中n是节点数。
在步骤2中，经典MDS被直接应用于距离矩阵。经典MDS的核心是奇异值分析，复杂度是O（n3）。MDS的结果是一个给出各个节点的位置的相对图。尽管这些位置可能彼此相关，整个图可以自由旋转和翻转接近于实际的节点位置。
在步骤3中，相对图是通过线性转化获得的，包括定标，旋转和映射。目的是把锚点的实际位置和它们在MDS图中转化位置的误差的平方的和最小化。计算转化参数的时间复杂度是O（m2），m是锚点数。把整个相对图通过O（n）次转化。
4．相关工作
近年来节点定位是个研究的热点。Hightower和 Borriello[6]在这个领域进行了一个详细的研究。尽管如此，描述在ad-hoc网络中对节点定位的方法很少。大多系统使用某种范围或距离的信息，而且这些很多依赖于具有强大功能但能耗很大的信标节点，如无线电或激光发射装置。
Doherty的凸约束（convex constraint）方法把定位问题阐述为一个可行的径向约束的问题。可以互相听到的节点被限制在一定的距离内。凸约束问题可以通过有效的半正定优化（一种内点算法）来寻求全局最佳解决方法。在定向通信中，这个方法把定位问题作为线性优化问题来通过内点算法解决。这个方法需要集中式计算。为了使这个技术达到更好的效果，需要选择把锚点放在外围，最好是边角。只有在这种结构中这些约束能足够产生有效的构造。当所有的锚点都在网络的内部的时候，对外部节点的位置估计会很容易倾向于中心，从而导致很大的估计误差。例如，有10%的锚点，未知误差与无线电测距类似。在一个有5个锚点的两百个节点的随机网络中，未知误差比无线电测距高两倍。
大多数ad-hoc网络的定位方法需要远远不止连通性的信息并且使用更耗能的信标节点。ad-hoc定位技术使用通常属于这个种类[7，10]的移动式遥控装置。移动式遥控装置使用附加的计程测量仪器来估计最初的遥控设备的位置，这在传感网络中无法获得的。
很多已有的网络定位技术使用一套固定的参考点或锚点并应用多维定标或三角测量来现未知节点[8，11]的坐标的技术来进行距离或角度测量。这个估计距离可以通过接收信号强度（RSSI）或到达时间法（ToA）测量。由于不均一的信号传播环境，接收信号强度法有时候并不可靠和精确。到达时间法的准确性要好，但是在传感节点需要一些附加的硬件来接收传播速度比无线电还要慢的信号[12]。在算法中强调可以在传感节点实行分布式模式而不是集中式计算，通信或信息传播。Niculescu和 Nath [9]的“DV-based”方法是分布式的。“DV-hop”方法得到的定位误差在具有100个节点，5个锚点，和平均连通性为7.6的网络中是无线电测得的距离的45%。它从锚点开始。锚点泛布在整个网络的所有节点中。每个未知节点实行三角测量用三个或更多锚点来估计它的位置。这个方法在密集的和拓扑的网络中用的很好。对于稀疏和不规则的网络，精确性降低到无线电测得的距离。“DV-distance”方法使用相邻节点间的距离把定位误差降低到“DV-hop”方法的一半。
Savarese et al.提出另一个分布式方法[11]。这个方法包括两个阶段：启动，精确化。在启动阶段，他们使用Hop-TERRAIN，一个和DV-hop类似的算法。Hop-TERRAIN在一开始就产生大概的初步的节点定位估计。此外，它需要至少三个锚点来启动。然后精确算法迭代地来增进和精确位置估计。这个算法考虑的只是在单跳的相邻节点并运用最小二乘三角测量来在一个节点的相邻的节点的位置和它们之间的距离的基础上确定它的位置。这个方法的定位精度可以达到通信范围的三分之一。
当锚点的数量很多时候，可以使用Savarese et al.的协作的多维定标方法[13]。这个方法通过使用很多跳之外的锚点位置和与相邻节点的距离测量来估计节点的位置。这解决了一个全局非线性最优化的问题。这个方法包括三个主要阶段：1）协同合作的子树的形成，只包括可以统一确定的节点，2）依据锚点作的最初估计的计算，3）通过最小化节点间的测量距离和使用节点定位估计计算的距离之间的残差进一步精确位置。它们表现为一个集中计算模型和一个集中模型的分布式的近似值。这个方法在锚点比例高的时候用的很好。
Bulusu et al.[3]的GPS-less系统使用一个含有已知位置信标节点的栅格。每个未知节点利用旁边的信标节点质心来定位。位置的精确性大约是信标之间距离的三分之一，所以这个方法需要很高的信标密度。
几乎所有的现有方法需要某些种类的锚点或信标节点来开始。我们的方法没有这个限制。它甚至在没有锚点的情况下建立了一个相对图。有三个或更多锚点，这个相对图可以被转化并计算节点的绝对坐标。我们的方法在锚点的比率比较低的时候依旧使用地很好，在正常网络中用得更好。现在实行的一个限制是它被集中了的。有很多方式可以以分散或分布式的模式来应用这个方法。例如，这个方法可以被应用于子网来获得区域相对图，这些图组在一起构成整个网络的图。
4．实验结果
在我们的实验中我们在Matlab环境下不同的拓扑网络上运行MDS-MAP。这些节点：（a）被随机统一分布在正方形中，(b)在有一些布局误差的正方栅格上或(c)在一个有一些布局误差的六角栅格。在正方形栅格里，假设r是单位长度， n2个节点主要被放在nr乘以 nr的正方形中。我们把栅格布局的布局误差模拟为高斯噪音。布局误差ep为一个从正常分布r×ep×N(0,1)中衍生出的随机值，用来增加节点原始的栅格位置。六角栅格的布局误差是类似的。锚点是随机选择的。数据点代表在含有100到200个节点的网络中的超过30次实验的平均值。
在仅有连通性的条件下，只知道每个节点的相邻节点是什么但不知道它们之间的距离。在已知距离条件下，每个节点与相邻节点的距离都是已知的。这个距离信息以高斯噪音模糊的真实噪音为模型。假设真实距离是d*，射程误差是er；然后测量距离是从常规分布d*（1+N（0，er）中获得的随机值。连通性（邻近节点的平均数）被通过指定的无线电测距R控制。和先前的[4，11]中的结果相比较，位置估计误差被归一到R（例如50%的位置误差等于无线电测距的一半）。我们没有考虑到非统一的无线传播或广泛的变动的测距误差。模仿这些现象和模拟它们的作用都是将来的工作的重要方向。
4.1 随机布局
在这套实验中，200个节点被随机布局在一个10r×10r的正方形中。图形1显示一个无线电测距为1.5r的例子，产生12.1种的平均连通性。在图中，点代表节点，边代表可以互相听到的两个相邻节点的边。图形2显示的是在网络的连通性信息的基础上的MDA-MAP的结果。图形2（a）显示的经典MDS对于连通性矩阵的中间结果。可以看出图的中心是原点（0，0），它和图形1中的原始网络方向不同。图形2（b）显示的是通过4个在网络中用（*）标示的随机锚点转化的MDS结果的MDS-MAP。圆圈代表节点的真实位置，实线代表估计位置和实际位置之间的误差。实线越长，误差越大。这个例子中的平均估计误差是0.46r。
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当相邻的节点间距离已知的时候，即使精确度有限，MDS-MAP的结果也会显著增进。图形3显示的是在已知相邻节点间的距离测距误差为5%的MDS-MAP的结果。图形3（a）显示的是由MDS构造的图。此外，它和图形1和2（a）中的测量和方位都不同。图形3(b)显示的是在同4个锚点的基础上的MDS-MAP最终估计。它的平均估计误差是0.24r，比先前的只有连通性的结果要好得多。
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图形4显示的是MDS-MAP关于连通性和锚点数量两个参数的平均性能。图形4（a）显示仅用邻近性信息的MDS-MAP的结果。无线电测距误差（R）是1r,1.25r,1.5r,1.75r和2r，产生平均连通性水平分别为5.9，8.9，12.2，16.2，和20.7，使用3，4，6和10个锚点。在只有4个锚点和平均连通性为8.9或更高的时候由MDS-MAP产生的位置估计的平均误差在假定中低于100%R。当连通性水平为12.2或更高的时候，在只有三个锚点的时候误差已经很好，接近或比50%高。另一方面，连通性低的时候，例如5.9，误差会很大。这些结果比通过锚点的数量很少的凸最优化方法[4]中获得的结果要好得多。例如，在有4到10个锚点的200个节点的随机网络中，凸最优化方法的平均估计误差在无线电测距时1.25R或更高时是无线电测距的两倍。不同的是，我们的方法的误差在无线电测距为1.25R到2R时从80%降到40%.
图形4(b)显示使用在测距误差为5%的距离测量的MDS-MAP的结果。在网络中的连通性很高的时候知道相邻的节点的距离是更好的结局方法。当连通性水平是12.2或更高的时候，误差大约是仅有邻近性信息的MDS-MAP的一半。另一方面，当连通性比较低的时候，例如5.9时，已知地方距离并没有明显帮助且误差仍然很大。这些结果增进了 Hop-TERRAIN[11]中的结果，尤其是当锚点的数量很少的时候。例如，在2%的锚点和12的连通性水平下，MDS-MAP的平均误差大约是50%R，而Hop-TERRAIN的平均误差是大约90%。在精确阶段[11]后，误差被降到约18%R。MDS-MAP应该和Hop-TERRAIN相比较因为它后面有一个类似于[11]和[13]中的精确阶段。通过从更好的MDS-MAP产生的最初的估计开始，精确阶段能产生更好的结果。我们的这种方法的初步研究是很受鼓舞的。
图形5显示的是参与MDS-MAP的节点的数量。鉴于最大的连接子网是用于处理的。当连通性很低的时候，比如说5.9，大约有7%的子点没有连接到主要的子网中，因此不能估计它们的位置。节点只是主要子网的一部分，它们之中很多和它们邻近的节点只有1或2个连接。在MDS-MAP解决方案中缺乏足够的信息来确定节点的位置会产生很大的误差。当平均连通性超过12.2的时候，网络倾向于全面连接且所有的节点都能被定位。
在定位算法中对测距误差的敏感性是一个主要考虑。图形6显示的是增加的测距误差对估计误差的影响。无线电测距是1.5r和2r，产生的连通性水平为12.2和20.7。使用4个随机锚点。测距误差从0到50%。估计误差随着测距误差的增加平稳增加。在很多情况下，大的连通性（20.7）的产生的误差比小的连通性（12.2）的误差要低10%R。估计误差在测距误差超过30%的时候上升得很快。
4.2 栅格布局
在这一系列实验中，我们假定传感节点是按照规则结构如一个正方形或六角栅格排列。事实上，由于随机布局误差的存在，节点被布局在顶点邻近的地方。把100个节点布局在10r×10r的栅格中，单位边距离是r。我们的结果显示在同一连通性水平MDS-MAP对栅格布局的结果比随机布局的结果要好得多。
图形7显示一个布局误差为10%的常规栅格的例子。无线电测距R= 1.4r，产生的连通性是5.06。在图中点还是代表传感节点，边代表相邻节点的连接。图形8显示基于网络连通性的MDA-MAP结果。图形8（a）显示经典MDS对连通性矩阵的中间结果。可以看出图的中心是原点（0，0），它的方位和图形7的原始网络中的不同。图形8(b)显示的是在经过4个随机锚点（*节点）转化的MDS结果的MDS-MAP的最终结果。圆圈代表传感节点的真实位置，实现代表估计位置和真实位置之间的误差，实线越长，误差越大。
当相邻节点间的距离是已知的时候，MDS-MAP的结果明显有所改进。图形9显示的是在测距误差为5%已知相邻节点间距离的MDS-MAP结果。图形9（a）显示的是通过MDS构造的图。此外，它和图形7和8（a）的比例尺和方位都不同。图形9(b)显示的是在相同4个锚点的基础上的MDS-MAP最终估计结果。估计误差现在很小。
图形9显示的是使用邻近性作为连通性和布局误差的函数的MDS-MAP的平均性能，分别是3或5个随机锚点。无线电测距（R）分别是1.5r，2r，2.5r和3r。对于不同的布局误差，相同的无线电测距产生不同的连通性水平。有三个锚点的MDS-MAP位置顾及的平均误差在布局误差高达50%，平均连通性水平为8或更高的时候低于50%R。
从六角栅格中所得的结果类似。由于相邻节点间距离的规则性的增加在正方形栅格布局中MDS-MAP的性能要稍微好一些。图形12显示的是一个布局误差为10%的规则栅格的例子。无线电测距R=1.4 r，产生的连通性是5.32。图形13显示的是基于网络连通性的MDS-MAP结果。图形13（a）显示的是经典MDS在连通性矩阵中的中间结果。图形13(b)显示的是在经过4个随机锚点（*节点）转化的MDS结果的MDS-MAP的最终结果。图形14显示的是在测距误差为5%已知相邻节点的距离的MDS-MAP结果。图形14显示的是由MDS和基于同4个节点的MDS-MAP最终估计构成的图。估计误差非常小。
图形15显示的是使用邻近性作为连通性和布局误差的函数，3或5个随机锚点的MDS-MAP的平均性能。无线电测距（R）是1.5r，2.5r和3.5 r。对于不同的布局误差，相同无线电测距产生不同的连通性水平。有3个锚点的时候，通过MDS-MAP的位置估计的平均误差在布局误差高达50%，连通性水平是14或更高的时候低于30%R。有5个锚点的时候，MDS-MAP的位置误差稍微有些下降。
图形16显示的是在测距误差在5%到50%的时候使用相邻节点间的距离的MDS-MAP的结果。此外，已知相邻节点的距离产生的结果要好得多。当测距误差低于20%的时候，低连通性水平（5.2）得估计误差低于30%。3个锚点，平均连通性水平为14或更高的MDS-MAP位置估计的平均误差低于15%R。锚点更多（5vs.3）能提高它的性能，尤其是在测距误差比较大的时候。
总之，在栅格布局的连通性水平高于9或随机布局连通性水平高于12的时候MDS-MAP运行得很好。MDS-MAP需要的锚点的数量非常少。在连通性足够的时候，对于有3个锚点的栅格布局和4个锚点的随机布局通常足够MDS-MAP的位置误差降到比无线电测距的一半。在布局误差少于无线电测距的四分之一且测距误差少于无线电测距的20%的时候MDS-MAP运行得很好。无论是随机或栅格布局，MDS-MAP的位置误差随着测距误差成比例增长。
5．可能的扩展
MDS-MAP现在执行的一个障碍是它需要网络的共用信息和集中计算。解决这个问题的一个方法是把网络分成子网，分别对每个子网使用MDS-MAP。由于我们的方法不需要使用锚点来建立子网的相对图，这个方法可以应用于很多平行的子网。然后可以通过相互联合获得邻近的地理图。也就是说，传感网络的完整图包括很多小的片段。当3个或更多锚点出现在子网或整个网络的时候可以相应计算出绝对图。尽管这个组合方法需要每个片段之间的重要计算，在选择进行计算的节点的时候具有相当的灵活性。初步研究前景很好，在未来的工作中将给出更详细的结果。
MDS-MAP也可以衍生到应用更多先进的MDS技术。除了经典度量MDS，其他的MDS技术如顺序MDS和数据缺失的MDS也可以应用。这对解决非均一的无线传播和非均一的测距误差的问题非常有用。我们已经对顺序MDS进行了有限的实验。我们的结果显示在传感网络的连通性水平比较低的时候，且相对于经典MDS来说连通性水平比较高的时候顺序MDS的结果要比经典MDS的结果好。
MDS-MAP的另一个障碍是当锚点的数量比较多的时候，MDS-MAP的性能相对于先前的限制方法[4]，“DV-hop[9]”或Hop-TERRAIN[11]来说并没有明显优势。原因是在MDS-MAP的第二步应用经典MDS的时候没有使用茅店的地理位置信息。这个信息只在第三步中使用，那时整个结构和节点间的距离比率已经确定。这个建立相对图的方法没有考虑到锚点的协调。在锚点很少或没有锚点的时候运行得很好，但是在锚点很多的时候运作得不好。一个解决方案是使用所谓的定位点方法[2]，在这个方法中锚点的坐标被明确用于确定缩放比例。
据我们上面所述，把MDS-MAP和其它的方法联合使用是另外一种可行的方法。例如，MDS-MAP可以用来获得很好的节点位置的初步估计，然后是像[11]或[13]中的精确阶段。由于MDS-MAP相对于其它方法在低锚点密度的时候性能很好，可以期待这个两步的方法能产生很好的结果。
6．结论
在这篇论文里，我们提出一个新的定位方法，MDS-MAP，在只有连通性的时候运行得很好。尽管如此，可能的话也可以和相邻节点间的距离信息协作使用。MDS-MAP的优势是它可以在锚节点很少或没有锚节点的时候使用。先前的方法通常需要放置很好的锚点来工作。例如，限制满足方法[4]只有在锚点是布局在外角且边和约束紧密的时候才能运行。它在锚点实在网络内部或接近中心的时候运行得不好。相关多维定标方法[13]也需要网络中的锚点，和相对多数量的锚点才能运行得好。我们的方法没有这个限制。它甚至可以在没有锚点的时候建立节点的相对图。当锚点为3个或更多的时候，相对图可以转化并结算传感节点的绝对坐标。使用不同网络排列和不同测距误差的水平的大量模拟工作显示这个方法是有效的，尤其是在锚点很少节点分布相对均一的时候。
7．致谢
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