椭圆的生成算法

         椭圆和直线、圆一样，是图形学领域中的一种常见图元，椭圆的生成算法（光栅转换算法）也是图形学软件中最常见的生成算法之一。在平面解析几何中，椭圆的方程可以描述为(x – x₀)² / a²+ (y – y₀)² / b² = 1，其中(x₀, y₀)是圆心坐标，a和b是椭圆的长短轴，特别的，当(x₀, y₀)就是坐标中心点时，椭圆方程可以简化为x² / a² + y² / b² = 1。在计算机图形学中，椭圆图形也存在在点阵输出设备上显示或输出的问题，因此也需要一套光栅扫描转换算法。为了简化，我们先考虑圆心在原点的椭圆的生成，对于中心不是原点的椭圆，可以通过坐标的平移变换获得相应位置的椭圆。

        在进行扫描转换之前，需要了解一下椭圆的对称性，如图（1）所示：

图（1）椭圆的对称性

 

中心在原点。焦点在坐标轴上的标准椭圆具有X轴对称、Y轴对称和原点对称特性，已知椭圆上第一象限的P点坐标是(x, y)，则椭圆在另外三个象限的对称点分别是(x, -y)、(-x, y)和(-x, -y)。因此，只要画出第一象限的四分之一椭圆，就可以利用这三个对称性得到整个椭圆。

       在光栅设备上输出椭圆有很多种方法，可以根据直角平面坐标方程直接求解点坐标，yekeyii利用极坐标方程求解，但是因为涉及到浮点数取整，效果都不好，一般都不使用直接求解的方式。本文就介绍几种计算机图形学中两种比较常用的椭圆生成方法：中点画椭圆算法和Bresenham椭圆生成算法。

 

1、 中点画椭圆法

 

        中点在坐标原点，焦点在坐标轴上（轴对齐）的椭圆的平面集合方程是：

 

x² / a² + y² / b² = 1，也可以转化为如下非参数化方程形式：

F(x, y) = b²x² + a²y² - a²b² = 0                  （方程 1）

 

无论是中点画线算法、中点画圆算法还是本节要介绍的中点画椭圆算法，对选择x方向像素Δ增量还是y方向像素Δ增量都是很敏感的。举个例子，如果某段圆弧上，x方向上增量+1个像素时，y方向上的增量如果 < 1，则比较适合用中点算法，如果y方向上的增量 > 1，就会产生一些跳跃的点，最后生成的光栅位图圆弧会有一些突变的点，看起来好像不在圆弧上。因此，对于中点画圆弧算法，要区分出椭圆弧上哪段Δx增量变化显著，哪段Δy增量变化显著，然后区别对待。由于椭圆的对称性，我们只考虑第一象限的椭圆圆弧，如图（2）所示：

图（2）第一象限椭圆弧示意图

 

定义椭圆弧上某点的切线法向量N如下：

对方程1分别求x偏导和y偏导，最后得到椭圆弧上(x,y)点处的法向量是（2b²x, 2a²y）。dy/dx = -1的点是椭圆弧上的分界点。此点之上的部分（橙褐色部分）椭圆弧法向量的y分量比较大，即：2b²(x + 1) < 2a²(y – 0.5)；此点之下的部分（蓝紫色部分）椭圆弧法向量的x分量比较大，即：2b²(x + 1) > 2a²(y – 0.5)。

        对于图（2）中橙褐色标识的上部区域，y方向每变化1个单位，x方向变化大于一个单位，因此中点算法需要沿着x方向步进画点，x每次增量加1，求y的值。同理，对于图（2）中蓝紫色标识的下部区域，中点算法沿着y方向反向步进，y每次减1，求x的值。先来讨论上部区域椭圆弧的生成，如图（3）所示：

图（3）中点画椭圆算法对上部区域处理示意图

 

假设当前位置是P(x_i, y_i)，则下一个可能的点就是P点右边的P1(x_i+1, y_i)点或右下方的P2(x_i+1, y_i-1)点，取舍的方法取决于判别式d_i，d_i的定义如下：

 

d_i = F(x_i+1, y_i-0.5) = b²(x_i+1)² + a²(y_i-0.5)² – a²b²

 

若d_i < 0，表示像素点P1和P2的中点在椭圆内，这时可取P1为下一个像素点。此时x_i+1 = x_i + 1，y_i+1 = y_i，代入判别式d_i得到d_i+1：

 

d_i+1 = F(x_i+1+1, y_i+1-0.5) = b²(x_i+2)² + a²(y_i-0.5)² – a²b² = d_i + b²(2x_i + 3)

 

计算出d_i的增量是b²(2x_i + 3)。同理，若d_i >= 0，表示像素点P1和P2的中点在椭圆外，这时应当取P2为下一个像素点。此时x_i+1 = x_i + 1，y_i+1 = y_i - 1，代入判别式d_i得到d_i+1：

 

d_i+1 = F(x_i+1+1, y_i+1-0.5) = b²(x_i+2)² + a²(y_i-1.5)² – a²b² = d₁ + b²(2x_i+3) + a²(-2y_i+2)

 

计算出d_i的增量是b²(2x_i+3)+a²(-2y_i+2)。计算d_i的增量的目的是减少计算量，提高算法效率，每次判断一个点时，不必完整的计算判别式d_i，只需在上一次计算出的判别式上增加一个增量即可。

        接下来继续讨论下部区域椭圆弧的生成，如图（4）所示：

图（4）中点画椭圆算法对下部区域处理示意图

 

假设当前位置是P(x_i, y_i)，则下一个可能的点就是P点左下方的P1(x_i -1, y_i-1)点或下方的P2(x_i, y_i-1)点，取舍的方法同样取决于判别式d_i，d_i的定义如下：

 

d_i = F(x_i+0.5, y_i-1) = b²(x_i+0.5)² + a²(y_i-1)² – a²b²

 

若d_i < 0，表示像素点P1和P2的中点在椭圆内，这时可取P2为下一个像素点。此时x_i+1 = x_i + 1，y_i+1 = y_i - 1，代入判别式d_i得到d_i+1：

 

d_i+1 = F(x_i+1+0.5, y_i+1-1) = b²(x_i+1.5)² + a²(y_i-2)² – a²b² = d_i + b²(2x_i+2)+a²(-2y_i+3)

 

计算出d_i的增量是b²(2x_i+2)+a²(-2y_i+3)。同理，若d_i >= 0，表示像素点P1和P2的中点在椭圆外，这时应当取P1为下一个像素点。此时x_i+1 = x_i，y_i+1 = y_i - 1，代入判别式d_i得到d_i+1：

 

d_i+1 = F(x_i+1+0.5, y_i+1-1) = b²(x_i+0.5)² + a²(y_i-2)² – a²b² = d₁ + a²(-2y_i+3)

 

计算出d_i的增量是a²(-2y_i+3)。

        中点画椭圆算法从(0, b)点开始，第一个中点是(1, b – 0.5)，判别式d的初始值是：

 

d₀ = F(1, b–0.5) = b² + a²(-b+0.25)

 

上部区域生成算法的循环终止条件是：2b²(x + 1) >= 2a²(y – 0.5)，下部区域的循环终止条件是y = 0，至此，中点画椭圆算法就可以完整给出了：

20 void MP_Ellipse(int xc, int yc , int a, int b)

21 { 

22     double sqa = a * a;

23     double sqb = b * b;

24 

25     double d = sqb + sqa* (-b + 0.25);

26     int x = 0;

27     int y = b;

28     EllipsePlot(xc, yc, x, y);

29     while( sqb *(x + 1) < sqa * (y - 0.5))

30     {    

31         if (d < 0)

32         {

33             d += sqb * (2* x + 3);

34         }

35         else 

36         { 

37             d += (sqb * (2 * x + 3) + sqa * (-2* y + 2));

38             y--;   

39         }

40         x++; 

41         EllipsePlot(xc, yc, x, y);

42     }

43     d = (b * (x + 0.5))* 2 + (a * (y - 1))* 2 - (a * b)* 2;

44     while(y > 0)

45     { 

46         if (d < 0)

47         {

48             d += sqb * (2* x + 2) + sqa * (-2 * y + 3);

49             x++; 

50         }

51         else 

52         {

53             d += sqa * (-2* y + 3); 

54         }

55         y--;

56         EllipsePlot(xc, yc, x, y);

57     }

58 }

EllipsePlot()函数利用椭圆的三个对称性，一次完成四个对称点的绘制，因为简单，此处就不再列出代码。

 

2、  Bresenham算法

 

        中点画椭圆法中，计算判别式d使用了浮点运算，影响了椭圆的生成效率。如果能将判别式规约到整数运算，则可以简化计算，提高效率。于是人们针对中点画椭圆法进行了多种改进，提出了很多种中点生成椭圆的整数型算法，Bresenham椭圆生成算法就是其中之一。

        在生成椭圆上部区域时，以x轴为步进方向，如图（5-a）所示：

图（5）Bresenham椭圆生成算法判别式

 

x每步进一个单位，就需要在判断y保持不变还是也步进减1，bresenham算法定义判别式为：

 

D = d₁ – d₂

 

如果D < 0，则取P1为下一个点，否则，取P2为下一个点。采用判别式D，避免了中点算法因y-0.5而引入的浮点运算，使得判别式规约为全整数运算，算法效率得到了很大的提升。根据椭圆方程，可以计算出d₁和d₂分别是：

 

d₁ = a²(y_i² – y²)

d₂ = a²(y² – y_i+1²)

 

以(0, b)作为椭圆上部区域的起点，将其代入判别式D可以得到如下递推关系：

 

D_i+1 = D_i + 2b²(2x_i + 3)                     (Di < 0)

D_i+1 = D_i + 2b²(2x_i + 3) – 4a²(y_i - 1)           (Di >= 0)

D₀ = 2b² – 2a²b + a²

 

在生成椭圆下部区域时，以y轴为步进方向，如图（5-b）所示，y每步进减一个单位，就需要在判断x保持不变还是步进加一个单位，对于下部区域，计算出d₁和d₂分别是：

 

d₁ = b²(x_i+1² – x²)

d₂ = b²(x² – x_i²)

 

以(x_p, y_p)作为椭圆下部区域的起点，将其代入判别式D可以得到如下递推关系：

 

D_i+1 = D_i – 4a²(y_i - 1) + 2a²                     (Di < 0)

D_i+1 = D_i + 2b²(x_i + 1) – 4a²(y - 1) + 2a² + b²          (Di >= 0)

D₀ = b²(x_p + 1)² +b²x_p² - 2a²b² + 2a²(y_p - 1)²

 

       根据以上分析，Bresenham椭圆生成算法的实现就比较简单了：

 

 61 void Bresenham_Ellipse(int xc, int yc , int a, int b)

 62 {

 63     int sqa = a * a;

 64     int sqb = b * b;

 65 

 66     int x = 0;

 67     int y = b;

 68     int d = 2* sqb - 2 * b * sqa + sqa;

 69     EllipsePlot(xc, yc, x, y);

 70     int P_x = ROUND_INT((double)sqa/sqrt((double)(sqa+sqb)));

 71     while(x <= P_x)

 72     {

 73         if(d < 0)

 74         {

 75             d += 2 * sqb* (2* x + 3);

 76         }

 77         else

 78         {

 79             d += 2 * sqb* (2* x + 3) - 4 * sqa * (y - 1);

 80             y--;

 81         }

 82         x++;

 83         EllipsePlot(xc, yc, x, y);

 84     }

 85 

 86     d = sqb * (x * x + x) + sqa * (y * y - y) - sqa * sqb;

 87     while(y >= 0)

 88     {

 89         EllipsePlot(xc, yc, x, y);

 90         y--;

 91         if(d < 0)

 92         {

 93             x++;

 94             d = d - 2 * sqa * y - sqa+ 2 * sqb * x + 2 * sqb;

 95         }

 96         else

 97         {

 98             d = d - 2 * sqa * y - sqa;

 99         }

100     }

101 }

       总结一下，本文介绍了两种计算机图形学中常见的椭圆生成算法，实际上还有很多种改进算法，包括提高效率，引入反走样技术等等，但那已经不是本文的重点，能把算法的基本原理讲清楚才是本文的目的。

 

参考资料：

 

【1】计算几何：算法设计与分析周培德 清华大学出版社 2005年

【2】计算几何：算法与应用德贝尔赫（邓俊辉译） 清华大学出版社 2005年

【3】计算机图形学孙家广、杨常贵清华大学出版社 1995年

 

椭圆的中点生成算法  

 

第二种方法椭圆中点生成算法

 

椭圆对称性质原理：

（1）圆是满足x轴对称的，这样只需要计算原来的1/2点的位置；

（2）圆是满足y轴对称的，这样只需要计算原来的1/2点的位置；

通过上面分析可以得到实际上我们计算椭圆生成时候，只需要计算1/4个椭圆就可以实现对于所有点的生成了。

例如：分析出来目标点(x,y)必然存在(x,-y),(-x,y),(-x,-y)的另外3个点。关于中心画圆算法，通过计算x = 0到 y = 0的1/4椭圆的范围，然后通过对称原理得到其他3/4个点的信息。(R2表示椭圆厂轴的半径）

 

椭圆中点生成算法是将椭圆在第一象限中分为两个部分：

（1)对于斜率绝对值小于1的区域内在x方向取单位量；

（2)对于斜率绝对值大于1的区域内在y方向取单位量；

 

斜率可以通过椭圆的标准方程中获得为
K = - (ry*ry)*x/(rx*rx)*y;

 

这里中点椭圆生成算法同样和Bresenham算法有很多相似之处，同样有一个决定下一个位置的关键值P来做权衡处理。在中点画椭圆算法中，通过平移的方法将假设圆心在坐标原点，然后计算，最后再平移到真实原心位置。

中点椭圆算法内容：

1，输入椭圆的两个半径r1和r2，并且输入椭圆的圆心。设置初始点(x0,y0)的位置为(0,r2);

2，计算区域1中央决策参数的初始值

   p = ry*ry - rx*rx*ry + 1/4*(rx*rx);

3，在区域1中的每个Xn为止，从n = 0 开始，直到|K|(斜率）小于-1时后结束；

   （1）如果p < 0，绘制下一个点(x+1,y)，并且计算
   p = p + r2*r2*(3+2*x);

   （2）如果P >=0 ,绘制下一个点(x+1,y-1),并且计算
   p = p + r2*r2*(3+2*point.x) - 2*r1*r1*(y-1)

4，设置新的参数初始值；

   p = ry*ry(X0+1/2)*(X0+1/2) + rx*rx*(Y0-1) - rx*rx*ry*ry;

5，在区域2中的每个Yn为止，从n = 0开始，直到y = 0时结束。

   （1）如果P>0的情况下,下一个目标点为(x,y-1)，并且计算
   p = p - 2rx*rx*(Yn+1) + rx*rx;

   （2）如果p<=0的情况下，下一个目标点为(x+1,y-1)，并且计算
   p = p - 2rx*rx*Y(n+1) + 2ry*ry*(Xn+1)+rx*rx;

6，更具对称性原理计算其他3个象限的坐标。

7，急速拿出中心位置在(x1,y1)的位置

   x = x + x1;

   y = y + y1;

  

实例代码：

#include <iostream>

#include <math.h>

using namespace std;

 

struct Point{

int x;

int y;

};

 

void PointsEllipse(int x,int y,int r1,int r2){

Point point;

int p ;//参数

int k ; //斜率

point.x = 0;

point.y = r2; //

计算区域1中央决策参数的初始值

p = r2*r2 - r1*r1*r2 + 1/4*(r1*r1);

while( point.x < point.y){

if( p < 0){

point.x ++;

p = p + r2*r2*(3+2*point.x);

}

else{

point.x++;

point.y--;

p = p + r2*r2*(3+2*point.x) - 2*r1*r1*(point.y-1) ;

}

  temp.x = point.x + x;
  temp.y = point.y + y;
  printf("Point X:%d Y:%d\r\n",temp.x,temp.y);
  printf("Point X:%d Y:%d\r\n",temp.x,-temp.y);
  printf("Point X:%d Y:%d\r\n",-temp.x,temp.y);
  printf("Point X:%d Y:%d\r\n",-temp.x,-temp.y);

}

p = r2*r2*(0+1/2)*(0+1/2) + r1*r1*(r1-1)*(r1-1) - r1*r1*r2*r2;

while(point.y > 0){

if(p > 0){

point.y--;

p = p - 2*r1*r1*point.y - 2*r1*r1 + r1*r1;

}

else{

point.y--;

point.x++;

p = p - 2*r1*r1*point.y - 2*r1*r1 + r1*r1 + 2*r2*r2*point.x + 2*r2*r2 ;

}

  temp.x = point.x  + x;
  temp.y = point.y + y;
  printf("Point X:%d Y:%d\r\n",temp.x,temp.y);
  printf("Point X:%d Y:%d\r\n",temp.x,-temp.y);
  printf("Point X:%d Y:%d\r\n",-temp.x,temp.y);
  printf("Point X:%d Y:%d\r\n",-temp.x,-temp.y);

}

}