三角形公式 [重心, 内心, 外心, 垂心]

设三角形为ABC, a=BC, b=CA, c=AB

重心：三条边的中线的交点

重心:G(x,y)= 1/3 * A(x,y) + 1/3 * B(x,y) + 1/3 * C(x,y)
内心：三个点的角平分线的交点

内心I(x,y)= ( a * A(x,y) + b * B(x,y) + c * C(x,y) ) /(a+b+c) 

推导：内心定理

内心定理证明：

由角平分线定理DC/DB = b/c，即,,

由角平分线定理 IA/ID = b/CD

而 CD/a = b/(b+c)

所以IA/ID = (b+c)/a，即，

证明结束。

定义：

P = (a^2+b^2+c^2)/2;

u = P-a^2; v = P-b^2; w =P-c^2;

Q = uvw / (uv + vw + uw);

λ1 = Q/u; λ2 = Q/v; λ3 =Q/u;

 

外心：三条边的中垂线的交点

外心:O(x,y)= (1-λ1)/2 * A(x,y) + (1-λ2)/2 * B(x,y) + (1-λ3)/2 * C(x,y)

 

垂心：三个点的垂线的交点

垂心:H(x,y)= λ1 * A(x,y) + λ2 * B(x,y) + λ3 * C(x,y)

 

参数含义：

设

由余弦定理: 2abcosC =a²+b²-c²,

所以w= P-c^2 = (a^2+b^2-c^2)/2 =