二分图问题各类变形详解

这几天在琢磨着二分图的问题，二分图是图论算法中很基本的一个问题，其本身有很多的变种问题，二分图最大匹配，最小顶点覆盖，最小路径覆盖，最大独立集等等，但是万变不离其宗，其本质我发现最后都可以用一个模板解决。下面就说下我学习二分图的步骤。至于二分图的概念，大家应该已经知道，不再赘述，或者自行百度。

1.二分图最大匹配

二分图问题一般有两种算法：最大网络流算法，匈牙利算法。至于前者，网络流问题我一直认为是图论中的难点，准备放在最后学习。而后者是适合于新手的一种算法。这里我选择的自然是匈牙利算法。

由hdu2063过山车问题引入，详解请参考请参考我的博文——二分图最大匹配。问题大概就是在说男生一边，女生一边，然后有些女生只会选择他们心仪的几个男生一起坐过山车（丑的人就没妹子了），理解为一夫一妻。很显然的一个二分图，问最多能有多少对男女能一起坐过山车。简单附上模板：

#define N 510int useif[N];   //记录y中节点是否使用 0表示没有访问过，1为访问过int link[N];   //记录当前与y节点相连的x的节点int mat[N][N]; //记录连接x和y的边，如果i和j之间有边则为1，否则为0int gn,gm;    //二分图中x和y中点的数目bool can(int t){    int i;    for(i=1;i<=gm;i++)    {       if(useif[i]==false && mat[t][i])       {           useif[i]=true;           if(link[i]==-1 || can(link[i]))           {              link[i]=t;              return true;           }       }    }    return false;}int MaxMatch(){    int i,num;    num=0;    memset(link,0xff,sizeof(link));    for(i=1;i<=gn;i++)    {      memset(useif,0,sizeof(useif));       if(can(i)) num++;    }    return num;}

2.二分图最小顶点覆盖

在二分图中求最少的点，让每条边都至少和其中的一个点关联，这就是：“二分图的最小顶点覆盖”求最少的点，让每条边都至少和其中的一

二分图的最小顶点覆盖数=最大匹配数

引入例题hdu1150

题目大意：

有两台机器A和B以及N个需要运行的任务。每台机器有M种不同的模式，而每个任务都恰好在一台机器上运行。

如果它在机器A上运行，则机器A需要设置为模式xi,如果它在机器B上运行，则机器A需要设置为模式yi。

每台机器上的任务可以按照任意顺序执行，但是每台机器每转换一次模式需要重启一次。请合理为每个任务安排一台机器并合理安排顺序，使得机器重启次数尽量少。

怎么解决呢？首先确定这是一个满足二分图定义的题目，下面才会发现着属于最小顶点覆盖。之前已经做过二分图最大匹配了，这个题目就可以理解为求最大匹配数，因为已经有结论：二分图的最小顶点覆盖数=最大匹配数。

稍微改动一下输入格式就可以AC了。

3.二分图最小路径覆盖

用尽量少的不相交简单路径覆盖有向无环图(DAG)的所有顶点，这就是DAG图的最小路径覆盖问题。

DAG图的最小路径覆盖数 = 节点数（n）- 最大匹配数（m）

引入例题：hdu1151

题目大意：

在一个城镇，有m个路口，和n条路，这些路都是单向的，而且路不会形成环，现在要弄一些伞兵去巡查这个城镇，

伞兵只能沿着路的方向走，问最少需要多少伞兵才能把所有的路口搜一遍。这个题目就转换成求解有向无环图的最

小路径覆盖问题了。

也是做一些输入的修改后直接套用模板。

4.二分图最大独立集

二分图的最大独立集数 = 节点数（n）- 最大匹配数（m）

引入例题：hdu1068.这题还没看，有待研究。先copy一下别人的分析：

由于这个题是集合内部的匹配(请注意~~~，题目可没有说，凑成 romantic relation 一对儿的，一定是男&&女~)，所以求出来的是最大匹配数的两倍，所以ans=n-2*最大匹配数。题目没有出现：“给出1号的时候，1可以匹2；而给2的时候，2能匹配的对象中牟有1”的情况，否则还得要我们自己把其补全，才能用上面的思路呢。
另外，也可以处理为：比如说让(1---2)和(2---1)的情况只有一个，即1的对象有2，而2的对象没有1，那么这样得到的最大匹配数，就是1倍的匹配数，就可以直接ans=n-最大匹配数了。但是，这儿显然还是求两倍的方便~

至此，二分图系列先告一段落了。一天又过去了，今天过的怎么样,梦想是不是更远了?