Section 1.2 Complete Search

Complete Search

枚举搜索

译 By Yahoo! Babel Fish, Nocow Aule

抛砖引玉，欢迎各位大牛不吝赐教

思想：

写枚举搜索时应遵循KISS原则（Keep it simple stupid，译为“写最单纯愚蠢的程序”，意思是应把程序写得尽量简洁），竞赛时写程序的最终目标就是在限制时间内求出解，而不需太在意否还有更快的算法。

枚举搜索具有强大的力量，他用直接面向答案并尝试所有方案的方法发现答案。这种算法几乎总是解题时你第一个想到的方法。如果它能在规定的时间与空间限制内找出解，那么它常常很容易编写与调试。这就意味着你可以有时间去解答其他难题，即那些不能显示枚举算法强大的题目。

如果你面对一道可能状态小于两百万的题目，那么你可以考虑使用枚举搜索。尝试所有的状态，看看它们是否可行。

小心！小心！

有时，题目不会直接要求你使用枚举算法。

＊问题： 派对灯[IOI 98]

在一次IOI派对上有N个灯和4个灯开关，第一个开关可以使所有灯改变状态（关上开着的灯，开启关着的灯），第二个开关可以改变所有偶数位上灯的状态，第三个开关可以改变所有奇数位上灯的状态，第四个开关控制着灯1、4、7、10……（3n+1）。

告诉你N的值和所有按开关的次数（小于10,000次）。并告诉你某些灯的状态（例如：7号灯是关着的，10号灯是开着的）请编程输出所有灯可能的最后状态。

很明显，每次按开关你都要尝试4种可能。那么总共要试 4¹⁰⁰⁰⁰ 次（大约 10⁶⁰²⁰），那意味着你没有足够的时间去使用枚举搜索，但是我们将枚举方法改进一下，那就可以使用枚举了。因为无论有多少个灯，由于开关控制的特殊性，都会出现6个灯一次循环的情况，即1号灯的状态永远与7号灯，13号灯，19号灯……相同，2号灯的状态也永远与8号灯，14号灯，20号灯……相同。同样，无论你按了多少次开关，按同一个开关两次就相当于没有按该开关，那么每一个开关就只需要考虑按一次或没有按，那么这题的枚举量就很小了。

＊第3个问题： 时钟[IOI 94]

一组九个时钟在3 x 3栅格中; 其中每一个被设置到12:00、3:00、6:00或者9:00。 您的目标是操作他们全部读12:00。 不幸地，您能操作时钟的唯一的方式是九种不同类型的转动之一，每一个转动使时钟的某一子集顺时针方向90度。

找到把所有时钟拨到12:00的转动的最短序列。

要做的“明显的”事是一种递归解答，检查看是否有转动1的解答， 转动2等等，直到它发现一种解答。 这将花费9^k时间， k是移动的数量。 因为k也许相当大，这不能在合理时间限制内运行完成。

注意移动的顺序不重要。 这使时间降低下来到k⁹，不足以改善程序运行所花费的时间。

然而，从做每个转动4次是和不做是一样的，您知道每个转动总的不会超过3次。 因此，只有4⁹种可能性，也就是262,072；根据经验，在一秒钟内，运算次数可以超过10,000,000次（也就是一千万次）。 暴力求解，从这个角度看，是能够完美地胜任的。

样例问题 ＊奶牛[USACO 1996年比赛]

给出挤奶日程表(农夫A 从300时间挤奶到1000时间，农夫B 从700到1200时间等等)，计算

  * 至少一头母牛被挤奶的最长时间  * 没有母牛被挤奶的最长时间

完全母牛&亲和母牛表兄弟[USACO 1995 Final Round]

完全数是真因子（即除了本身之外的约数）的和等于本身的数。 例如， 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14。一对亲和数（又叫相亲数）是其中任一个数的所有真因数之和等于另一个数的一对数字。当然，亲和数链（也叫相亲数链）就是第一个数的真因数之和等于第二个数，第二个数的真因数之和等于第三个……等等，直到最后一个数的真因数之和等于第一个数。

农夫约翰的大农场里的每头母牛按顺序从1到32000有一个编号。一头编号是完全数的母牛就是完全母牛。 如果他们的编号形成了一个亲和数链，这些母牛就互相是亲和母牛表兄弟。 找出所有完全母牛和亲和母牛表兄弟。