算法导论--学习笔记018

1.波那契堆（Fibonacci Heap） 斐波那契堆是一种松散的二项堆，与二项堆的主要区别在于构成斐波那契堆得树可以不是二项树，并且这些树的根排列是无须的（二项堆的根结点排序是按照结点个数排序的，不是按照根结点的大小）。斐波那契堆得优势在于它对建堆、插入、抽取最小关键字、联合等操作能在O(1)的时间内完成（不涉及删除元素的操作仅需要O（1））。这是对二项堆效率的巨大改善。但由于斐波那契堆得常数因子以及程序设计上的复杂度，使它不如通常的二叉堆合适。因此，它的价值仅存在于理论意义上。斐波那契堆的另一个特点就是合并操作只发生在抽取一个结点之后，也就是说斐波那契堆的维护总是会延后的。

结点结构：

key: 关键字，作为排序、判断结点大小的标准

left, right：用于维护双链表，所有的根结点形成一个双链表，每个结点的孩子们形成双链表

parent, child : 维护父子关系

mark : 这个域与维护堆结构无关，只与具体的算法策略有关，不在这里讲

degree： 记录该结点有几个孩子

每个结点x的域

1. 父节点p[x]
2. 指向任一子女的指针child[x]——结点x的子女被链接成一个环形双链表，称为x的子女表
3. 左兄弟left[x]
4. 右兄弟right[x]——当left[x] = right[x] = x时，说明x是独子。
5. 子女的个数degree[x]
6. 布尔值域mark[x]——标记是否失去了一个孩子

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对一个有向无环图(Directed Acyclic Graph简称DAG)G进行拓扑排序，是将G中所有顶点排成一个线性序列，使得图中任意一对顶点u和v，若边(u,v)∈E(G)，则u在线性序列中出现在v之前。通常，这样的线性序列称为满足拓扑次序(Topological Order)的序列，简称拓扑序列。简单的说，由某个集合上的一个偏序得到该集合上的一个全序，这个操作称之为拓扑排序。

如果图中任意两点都是连通的，那么图被称作连通图。如果此图是有向图，则称为强连通图（注意：需要双向都有路径）。

在无向图中，如果从顶点vi到顶点vj有路径，则称vi和vj连通。如果图中任意两个顶点之间都连通，则称该图为连通图，否则，称该图为非连通图，则其中的极大连通子图称为连通分量，这里所谓的极大是指子图中包含的顶点个数极大。

有向图的最大强连通子图称为该有向图的强连通分量。

强连通图只有一个强连通分量，即本身，非强连通图有多个强连通分量。

 一个有向图的极小连通子图是生成森林由若干棵有向树组成,含有图中全部顶点,但只有足以构成若干棵步相交的有向树的弧。

极小连通子图 = 该图的生成树
极大连通子图 = 该生成树加上其节点间直接相连的全部边

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欧拉回路：

有向强连通图中通过图G中每一条边仅一次，但是每一个顶点可以多次的回路。

挂接点：连通图中的关键节点

桥：连通图中的关建边

[双连通图、割点与桥]

如果一个无向连通图的点连通度大于1，则称该图是点双连通的(point biconnected)，简称双连通或重连通。一个图有割点，当且仅当这个图的点连通度为1，则割点集合的唯一元素被称为割点(cut point)，又叫关节点(articulation point)。

如果一个无向连通图的边连通度大于1，则称该图是边双连通的(edge biconnected)，简称双连通或重连通。一个图有桥，当且仅当这个图的边连通度为1，则割边集合的唯一元素被称为桥(bridge)，又叫关节边(articulation edge)。

可以看出，点双连通与边双连通都可以简称为双连通，

[双连通分支]

在图G的所有子图G'中，如果G'是双连通的，则称G'为双连通子图。如果一个双连通子图G'它不是任何一个双连通子图的真子集，则G'为极大双连通子图。双连通分支(biconnected component)，或重连通分支，就是图的极大双连通子图。特殊的，点双连通分支又叫做块。

【不妨害边   轻边】

【安全边规则】

【克鲁斯卡尔算法】

假设 WN=(V,{E}) 是一个含有 n 个顶点的连通网，则按照克鲁斯卡尔算法构造最小生成树的过程为：先构造一个只含 n 个顶点，而边集为空的子图，若将该子图中各个顶点看成是各棵树上的根结点，则它是一个含有 n 棵树的一个森林。之后，从网的边集 E 中选取一条权值最小的边，若该条边的两个顶点分属不同的树，则将其加入子图，也就是说，将这两个顶点分别所在的两棵树合成一棵树；反之，若该条边的两个顶点已落在同一棵树上，则不可取，（如何判断不构成回路）而应该取下一条权值最小的边再试之。依次类推，直至森林中只有一棵树，也即子图中含有 n-1条边为止。

【prim算法】

假设V是图中顶点的集合，E是图中边的集合，TE为最小生成树中的边的集合，则prim算法通过以下步骤可以得到最小生成树：

1：初始化：U={u 0},TE={f}。此步骤设立一个只有结点u 0的结点集U和一个空的边集TE作为最小生成树的初始形态，在随后的算法执行中，这个形态会不断的发生变化，直到得到最小生成树为止。

2：在所有u∈U,v∈V－U的边（u,v）∈E中，找一条权最小的边（u 0,v 0），将此边加进集合TE中，并将此边的非U中顶点加入U中。此步骤的功能是在边集E中找一条边，要求这条边满足以下条件：首先边的两个顶点要分别在顶点集合U和V－U中，其次边的权要最小。找到这条边以后，把这条边放到边集TE中，并把这条边上不在U中的那个顶点加入到U中。这一步骤在算法中应执行多次，每执行一次，集合TE和U都将发生变化，分别增加一条边和一个顶点，因此，TE和U是两个动态的集合，这一点在理解算法时要密切注意。

3：如果U=V，则算法结束；否则重复步骤2。可以把本步骤看成循环终止条件。我们可以算出当U=V时，步骤2共执行了n－1次（设n为图中顶点的数目），TE中也增加了n－1条边，这n－1条边就是需要求出的最小生成树的边

注意：区别是克鲁斯卡尔算法采用多个割来找安全边，而prim算法只有一个最大的割，来找安全边。

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Dijkstra算法无法判断含负权边的图的最短路。如果遇到负权，在没有负权回路存在时（负权回路的含义是，回路的权值和为负。）即便有负权的边，也可以采用Bellman-Ford算法正确求出最短路径。

【Bellman-Ford算法】--------单源

1,.初始化：将除源点外的所有顶点的最短距离估计值 d[v] ←+∞, d[s] ←0;

2.迭代求解：反复对边集E中的每条边进行松弛操作，使得顶点集V中的每个顶点v的最短距离估计值逐步逼近其最短距离；（运行|v|-1次）

3.检验负权回路：判断边集E中的每一条边的两个端点是否收敛。如果存在未收敛的顶点，则算法返回false，表明问题无解；否则算法返回true，并且从源点可达的顶点v的最短距离保存在 d[v]中。

松弛操作：检查距离是否可以更新。

RELAX(u, v, w)

1 if(d[v]>d[u]+w(u,v))

2 then d[v]←d[u]+w(u,v)

3 π[v]←u
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很多时候，给定的图存在负权边，这时类似Dijkstra等算法便没有了用武之地，而Bellman-Ford算法的复杂度又过高，
【SPFA算法原理】-------------------多个源，图中任意点
动态逼近法：设立一个先进先出的队列用来保存待优化的结点，优化时每次取出队首结点u，并且用u点当前的最短路径估计值对离开u点所指向的结点v进行松弛操作，如果v点的最短路径估计值有所调整，且v点不在当前的队列中，就将v点放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作，直至队列空为止。